Учебное пособие: Вычислительная математика

где B – квадратная невырожденная матрица с элементами bij, i, j = 1, 2, …, n, x – вектор-столбец неизвестных xi, c – вектор-столбец с элементами ci, i = 1, 2, …, n.

Существуют различные способы приведения системы (3.22) к виду (3.23). Рассмотрим самый простой. Представим систему (3.22) в развернутом виде:

a11x1 + a12 x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1

a21x1 + a22 x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2

a31x1 + a32 x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3                                            (3.24)

an1x1 + an2 x2 + an3x3 + … + annxn = bn

Из первого уравнения системы (3.24) выразим неизвестную x1:

x1 = a(b1 – a12x2  – a13x3 – … –  a1nxn),

из второго уравнения – неизвестную x2:

x2 = a(b2 – a21x1  – a23x3 – … –  a2nxn),

и т. д. В результате получим систему:

x1 =                b12 x2 + b13x3 + … + b1,n-1xn-1 + b1nxn + c1

x2 = b21x1                         + b23x3 + … + b2,n-1xn-1 + b2nxn  + c2

x3 = b31x1 +  b32 x2+ …                + b3,n-1xn-1 +  b3nxn  + c3                  (3.25)

.

xn=  bn1x1 +  bn2 x2 + bn3x3               + bn,n-1xn-1                       + cn

Матричная запись системы (3.25) имеет вид (3.23). На главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:

bij = ,  ci = , i, j = 1,2, …n, i j.                                           (3.26)

Очевидно, что  диагональные элементы матрицы A должны быть отличны от нуля.

Выберем произвольно начальное приближение Обычно в качестве первого приближения берут x= ci или x= 0. Подставим начальное приближение в правую часть (3.25). Вычисляя левые части, получим значения x, x, …, x. Продолжая этот процесс дальше, получим последовательность приближений, причем (k + 1)-е приближение строится следующим образом:

x  =                b12 x  + b13 x + … + b1,n-1 x  + b1n x + c1

x = b21 x1                         + b23 x  + … + b2,n-1 x   + b2n x   + c2

x= b31 x +  b32 x  + …           + b3,n-1 x   +  b3n x   + c3  …    (3.27)

x=  bn1x +  bn2 x   + bn3 x              + bn,n-1 x                             + c.n

Система (3.27) представляет собой расчетные формулы метода простой итерации Якоби.

Сходимость метода простой итерации. Известно следующее достаточное условие сходимости метода простой итерации Якоби.

Если элементы матрицы  A удовлетворяют условию:

|aii| > , i = 1, 2, …, n.                                                            (3.28)

то итерационная последовательность xk  сходится к точному решению x*.

Условие (3.28) называют условием преобладания диагональных элементов матрицы  A, так как оно означает, что модуль диагонального элемента i-ой строки больше суммы модулей остальных элементов этой строки, i = 1, 2, …, n.

Необходимо помнить, что условие сходимости (3.28) является лишь достаточным. Его выполнение гарантирует сходимость метода простых итераций, но его невыполнение, вообще говоря, не означает, что метод расходится.

Справедлива следующая апостериорная оценка погрешности:

max|x - x| £ max|x– x|,  i = 1, 2, …, n,                            (3.29)

где b  = max |bij| i, j  = 1, 2, …, n.

Правую часть оценки (3.29) легко вычислить после нахождения очередного приближения.

Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью e, то в силу (3.29) итерационный процесс следует закончить как только на (k+1)-ом шаге выполнится неравенство:

max|x– x| < e,  i = 1, 2, …, n.                                              (3.30)

Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство

max|x– x| < e1,  i = 1, 2, …, n.                                                       (3.31)

где e1 = e.

Если выполняется условие b £ , то можно пользоваться более простым критерием окончания:

max|x– x| < e,  i = 1, 2, …, n.                                                         (3.32)

В других случаях использование критерия (3.32) неправомерно и может привести  к преждевременному окончанию итерационного процесса.

Пример 3.5.

Применим метод простой итерации Якоби для решения системы уравнений

20.9x1 +   1.2 x2 +   2.1x3 +   0.9x4 = 21.70

1.2x1 + 21.2 x2 +   1.5x3 +   2.5x4 = 27.46

2.1x1 +   1.5 x2 + 19.8x3 +  1.3x4 = 28.76                                         (3.33)

0.9x1 +   2.5 x2 +   1.3x3 + 32.1x4 = 49.72

Заметим, что метод простой итерации сходится, т. к. выполняется условие преобладания диагональных элементов (3.28):

|20.9| > |1.2 + 2.1 + 0.9|,

|21.2| > |1.2| + |1.5| + |2.5|,

|19.8| > |2.1| + |1.5| + |1.3|,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24