Учебное пособие: Вычислительная математика

В искомом многочлене  P(x) неизвестными являются m +1 коэффициент a0 , a1, a2, …, am. Поэтому систему (4.7) можно рассматривать как систему из n +1 уравнений с m +1 неизвестными. Известно, что  для существования единственного решения такой системы необходимо , чтобы выполнялось условие: m = n. Таким образом, систему (4.7) можно переписать в развернутом виде:

a0 + a1 x0 + a2x + … + anx = y0

a0 + a1 x1 + a2x + … + anx = y1

a0 + a1 x2 + a2x + … + anx = y2                                                       (4.8)

.

a0 + a1 xn + a2x + … + anx = yn

Вопрос о существовании и единственности интерполяционного многочлена решает следующая теорема:

Теорема 4.1. Существует единственный интерполяционный многочлен степени n, удовлетворяющий условиям (4.6).

Имеются различные формы записи интерполяционного многочлена. Широко распространенной формой записи является многочлен Лагранжа

Ln(x) =  = .   (4.9)

В частности, для линейной и квадратичной интерполяции по Лагранжу получим следующие интерполяционные многочлены:

L1(x) = y0+ y1,

L2(x) = y0+ y1+ y2.

Пример 4.3.

Построим интерполяционный многочлен Лагранжа по следующим данным:

Степень многочлена Лагранжа для n +1 узла равна n. Для нашего примера многочлен Лагранжа имеет третью степень. В соответствии с (4.9)

L3(x) = 1+3 + 2 + 5 = 1 + x –  x2 + x3.

Пример 4.4.

Рассмотрим пример использования интерполяционного многочлена Лагранжа для вычисления значения заданной функции в промежуточной точке. Эта задача возникает, например, когда заданы табличные значения функции с крупным шагом, а требуется составить таблицу значений с маленьким шагом.

Для функции y = sinx известны следующие данные.

Вычислим y(0.25).

Найдем многочлен Лагранжа третьей степени:

L3(x) = 0 + +

 + 1.

При x = 0.25 получим y(0.25) = sin 0.25 » 0.249.

Погрешность интерполяции. Пусть интерполяционный многочлен Лагранжа построен для известной функции f(x). Необходимо выяснить, насколько этот многочлен близок к функции в точках отрезка [a, b], отличных от узлов. Погрешность интерполяции равна |f(x) – Pn(x)|. Оценку погрешности можно получить на основании следующей теоремы.

Теорема 4.2. Пусть функция f(x) дифференцируема n +1 раз на отрезке [a, b], содержащем узлы интерполяции xi Î [a, b], i = 0, 1, … , n. Тогда для погрешности интерполяции в точке x Î [a, b] справедлива оценка:

|f(x) – Ln(x)|£ |wn+1(x)|,                                                         (4.10)

где

Mn+1 = |f(n+1)(x)|,

wn+1(x) = (x – x0)(x – x1)…. (x – xn).

Для максимальной погрешности интерполяции на всем отрезке [a, b] справедлива оценка:

|f(x) – Ln(x)| £  |wn(x)|                                                 (4.11)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24