Учебное пособие: Вычислительная математика
Пример 4.5.
Оценим
погрешность приближения функции f(x) =  в точке x = 116
и на всем отрезке [a, b], где a = 100, b = 144, с помощью
интерполяционного много члена Лагранжа L2(x) второй степени,
построенного с узлами x0 = 100, x2
= 144.
Найдем
первую, вторую и третью производные функции f(x):
f '(x)=
 x – 1/2,
f "(x)= – x –3/2,
f'''(x)=  x
–5/2.
M3 =  | f'''(x)|
=  100 –5/2
=  10 –5.
В
соответствии с (4.9) получим оценку погрешности в точке x = 116:
| – L2(116)|
£  |(116
– 100)(116 – 121)(116 – 144)| =  10
–5×16×5×28 = 1.4×10 – 3.
Оценим
погрешность приближения функции f(x) =  на всем отрезке в
соответствии с (4.11):
 | – L2(x)| £   |(x – 100)(x
– 121)(x –144)| »
2.5×10–3.
4.4 Аппроксимация функций. Метод
наименьших квадратов
В инженерной
деятельности часто возникает необходимость описать в виде функциональной
зависимости связь между величинами, заданными таблично или в виде набора точек
с координатами (xi, yi), i = 0, 1, 2,...
, n, где n – общее количество точек. Как правило, эти табличные
данные получены экспериментально и имеют погрешности (рис. 2.5)
Рис.4.2
При
аппроксимации желательно получить относительно простую функциональную
зависимость (например, многочлен), которая позволила бы "сгладить" экспериментальные
погрешности, вычислять значения функции в точках, не содержащихся в исходной
таблице.
Эта
функциональная зависимость должна с достаточной точностью соответствовать
исходной табличной зависимости. В качестве критерия точности чаще всего используют
критерий наименьших квадратов, т.е. определяют такую функциональную
зависимость f(x), при которой
S = ,
(4.12)
обращается в
минимум.
Погрешность
приближения оценивается величиной среднеквадратического уклонения
D
=  .
(4.13)
В качестве
функциональной зависимости рассмотрим многочлен
Pm(x)=a0 + a1x
+ a2x2+...+amxm.
(4.14)
Формула
(4.12) примет вид
S =
Условия
минимума S можно записать, приравнивая нулю частные производные S
по всем переменным a0, a1,
a2, … , am. Получим систему
уравнений
 = – = 0,
или
 = 0, k = 0, 1, … , m.
(4.15)
Систему
уравнений (4.15) перепишем в следующем виде:
a0 + a1 + … +am =  , k = 0, 1, … , m
(4.16)
Введем
обозначения:
ck =  ,
bk =  .
Система
(4.16) может быть записана так:
a0ck + a1ck+1 + … +
ck+mam = bk, k
= 0, 1, … , m. (4.17)
Перепишем
систему (4.17) в развернутом виде:
c0a0 + c1a1 + c2a2… + cmam = b0
c1a0 + c2a1
+ c3a2… + cm+1am
= b1
(4.18)
cma0 + cm+1a1 + cm+2a2…
+ c2mam = bm
Матричная
запись системы (4.18) имеет следующий вид:
Ca = b.
(4.19)
Для
определения коэффициентов ak, k = 0, 1, … , m,
и, следовательно, искомого многочлена (4.14) необходимо вычислить суммы ck,
bk и решить систему уравнений (4.18). Матрица C
системы (4.19) называется матрицей Грама и является симметричной и положительно
определенной. Эти полезные свойства используются при решении.
Погрешность
приближения в соответствии с формулой (4.13) составит
D
=  .
(4.20)
Рассмотрим
частные случаи m =1 и m = 2.
1. Линейная
аппроксимация (m = 1).
P1(x)
= a0 + a1x.
c0
=  = n + 1; c1
=  =  ; c2 =  ;
(4.21)
b0
=  =  ; b1 =  =  .
(4.22)
  c0
c1 n+1 
C
= = ,
c1 c2  
b =
(b0, b1)T = ( , )T.
Решение
системы уравнений Ca = b найдем по правилу Крамера:
a0 =  , a1
=  ,
где úCú – определитель матрицы C, аúCiú – определитель матрицы Ci,
полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных
членов b, i = 1, 2.
Таким
образом,
a0 =  , a1
=  .
(4.23)
Алгоритм 4.1 (Алгоритм метода наименьших квадратов. Линейная
аппроксимация).
Шаг 1. Ввести исходные данные: xi,
yi, i=0, 1, 2, ... , n.
Шаг 2. Вычислить коэффициенты c0,
c1, b0, b1 по формулам
(4.21), (4.22).
Шаг 3. Вычислить a0, a1
по формулам (4.23).
Шаг 4. Вычислить величину погрешности
D1 =  .
(4.24)
Шаг 5. Вывести на экран результаты:
аппроксимирующую линейную функцию P1(x) = a0
+ a1x и величину погрешности D1.
2. Квадратичная
аппроксимация (m = 2).
P2(x)
= a0 + a1x + a2x2.
c0
= = n+1; c1
= = ; c2 = ; c3 = ; c4 = . (4.25)
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 |
