Учебное пособие: Вычислительная математика

Решение представим в виде таблицы 6.3:

Таблица 6.3

Третий столбец таблицы 6.3 содержит приближенное решение yi, i = 0, 1, …, 5.

Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Виднм, что погрешность составляет R = | y(ti) –  yi| = 0.0042.

Пример 6.3.

Применим второй  модифицированный метод Эйлера – Коши  для решения  задачи Коши

y' (t) = y – , y(0) = 1,

рассмотренной ранее в примерах 6.1 и 6.2. Так же, как и ранее, зададим шаг h = 0.2. Тогда   n =  = 5.

В соответствии с (6.14) получим расчетную формулу метода Эйлера – Коши:

yi+1 = yi + [f(ti, yi) + f(ti+1, )] = yi + 0.1[f(ti, yi) + f(ti+1, )],

где

f(ti, yi) = yi –

 = yi + h f(ti, yi) = yi + 0.1

t0  = 0, y0 = 1, i = 0, 1, …, 4.

Решение представим в виде таблицы 6.4:

Таблица 6.4

Таблица 6.4 заполняется последовательно по строкам, сначала первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец таблицы 6.4 содержит приближенное решение yi, i = 0, 1, …, 5.

Сравним полученное приближенное решение с точным решением (6.11), представленном в таблице 6.2. Видим, что погрешность составляет R = | y(ti) –  yi| = 0.0222.

6.4 Метод Рунге – Кутта

Метод Рунге – Кутта является одним из наиболее употребительных методов высокой точности. Метод Эйлера можно рассматривать как простейший вариант метода Рунге – Кутта.

Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения

y' (t) = f(t, y(t))

с начальным условием y(t0 ) = y0.

Как и в методе Эйлера, выберем шаг h =    и построим  сетку с системой узлов ti = t0 + ih, i = 0, 1, …, n.

Обозначим через yi приближенное значение искомого решения в точке ti.

Приведем  расчетные формулы метода Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

yi+1 = yi + h(k+ 2k+ 2k + k),

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24