Учебное пособие: Вычислительная математика

I =» Iпр =                                                    (5.3)

Формулу (5.3) называют также формулой средних прямоугольников. Иногда используют формулы

I  » I =  ,                                                                            (5.4)

I  » I =  ,                                                                            (5.5)

которые называют соответственно квадратурными формулами левых и правых прямоугольников.

Геометрические иллюстрации этих формул приведены на рис. 5.5 и 5.6.

Рис. 5.5

Рис. 5. 6

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы прямоугольников воспользуемся следующей теоремой .

Теорема 5.1. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для формулы прямоугольников справедлива следующая оценка погрешности:

| I  –  Iпр | £  h2,                                                                          (5.6)

где M2  = |f "(x)|

Пример 5.1.

Вычислим значение интеграла  по формуле средних прямоугольников (5.3) с шагом h = 0.1.

Составим таблицу значений функции e(табл. 5.1):

Таблица 5.1

Производя вычисления по формуле (5.3), получим:

Iпр  = 0.74713088.

Оценим погрешность полученного значения. Имеем:

f "(x) = (e)" = (4x2  –  2) e.

Нетрудно убедиться, что | f "(x)| £ M2 = 2. Поэтому по формуле(5.4)

| I  –  Iпр | £ (0.1)2  » 0.84× 10-3.

5.3 Метод трапеций

Выведем формулу трапеций так же, как и формулу прямоугольников, из геометрических соображений. Заменим график функции y = f(x) (рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной следующим образом. Из точек a = x0, x1, x2,…, xn = b проведем ординаты до пересечения с кривой y = f(x). Концы ординат соединим прямолинейными отрезками.

Рис. 5.7

Тогда площадь криволинейной трапеции приближенно можно считать равной площади фигуры, составленной из трапеций. Так как площадь трапеции, построенной на отрезке [xi, xi+1] длины h =  , равна h , то, пользуясь этой формулой для i = 0, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу трапеций:

I=»Iтр =h= (5.7)

Оценка погрешности. Для оценки погрешности формулы трапеций воспользуемся следующей теоремой.

Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для формулы трапеций справедлива следующая оценка погрешности:

| I  –  Iтр | £  h2,                                                                         (5.8)

где M2  = |f "(x)|.

Пример 5.2.

Вычислим значение интеграла по формуле трапеций (5.7) и сравним полученный результат с результатом примера 5.1.

Используя таблицу значений функции eиз примера 5.1 и производя вычисления по формуле трапеций (5.7), получим: Iтр = 0.74621079.

Оценим погрешность полученного значения. В примере (5.1) получили оценку:  | f "(x)| £ M2 = 2. Поэтому по формуле (5.8)

 I  –  Iтр | £ (0.1)2  » 1.7× 10-3.

Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2, видим, что метод средних прямоугольников имеет меньшую погрешность, т.е. он более точный.

5.4 Метод Симпсона (метод парабол)

Заменим график функции y = f(x) на отрезке  [xi, xi+1], i = 0, 2, … , n – 1, параболой, проведенной через точки (xi, f(xi)), (x,f(x)), (xi+1, f(xi+1)), где x - середина отрезка [xi, xi+1]. Эта парабола есть интерполяционный многочлен второй степени L2(x) с узлами xi, x, xi+1. Нетрудно убедиться, что уравнение этой параболы имеет вид:

y = L2(x) =

f(x) + (x – x) + (x - x)2,    (5.9)

где h = .

Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке  [xi, xi+1], получим

Ii = »  = ( f(xi) + 4f(x) + f(xi+1)).                     (5.10)

Суммируя  выражение (5.10) по i = 0, 1, 2, … , n – 1, получим квадратурную формулу Симпсона (или формулу парабол):

 I =» IС = ( f(x0) + f(xn) + 4 + 2).           (5.11)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24