Учебное пособие: Вычислительная математика

k = f(ti, yi),

k = f(ti + , yi + k),                                                                          (6.17)

k = f(ti + , yi + k),

k = f(ti +h, yi + hk),

i = 0, 1, …, n.

Оценка погрешности. Оценка погрешности метода Рунге –  Кутта затруднительна. Грубую оценку погрешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так как метод Рунге - Кутта имеет четвертый порядок точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6) примет вид

R  » |y- y|.                                                                                   (6.18)

Используя правило Рунге, можно построить процедуру приближенного вычисления решения задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности с заданной точностью e. Нужно, начав вычисления с некоторого значения шага h, последовательно уменьшать это значение в два раза, каждый раз вычисляя приближенное значение y, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда  будет выполнено условие:

R  » |y- y| < e.                                                                           (6.19)

Приближенным решением будут значения y, i = 0, 1, …, n.

Пример 6.4.

Методом Рунге – Кутта четвертого порядка точности найдем решение на отрезке [0, 1] следующей задачи Коши.

y' (t) = 2ty,  y(0) = 1.                                                                               (6.20)

Возьмем шаг h = 0.1. Тогда   n =  = 10.

В соответствии с (6.17) расчетные формулы примут вид:

yi+1 = yi + h(k+ 2k+ 2k + k),

k = 2tiyi,

k = 2(ti + )(yi + k),                                                                          (6.21)

k = 2(ti + )(yi + k),

k = 2(ti +h)(yi + hk),

i = 0, 1, …, 10.

Задача (6.20) имеет точное решение: y(t) = e, поэтому погрешность определяется как абсолютная величина разности между точными и приближенными значениями ei = | y(ti) –  yi|.

Найденные по формулам (6.21) приближенные значения решения yi  и их погрешности ei представлены  в таблице 6.5:

Таблица 6.5

Задачи к зачету по курсу “Вычислительные методы”

Указание. Каждый студент вначале должен определить параметр своего контрольного задания, s = log10(1 +), где k - номер студента в списке группы, k = 1, 2, …  Решение задач должно быть оформлено аккуратно и содержать все промежуточные расчеты. В качестве образца можно взять примеры, рассмотренные в соответствующих разделах методических указаний.

1. Методом деления отрезка пополам найти корень уравнения

4(1 –  x2)  –  ex = s  с точностью e  = 10-3.

2. Методом Зейделя решить систему уравнений с точностью e =10-3.

           6.2+s     2.2+s     1.2+s               16.55+s

A =     2.2+s     5.5+s    -1.5+s   ,  b =    10.55+s     .

          1.2+s    -1.5+s     7.2 +s                16.80+s

3. Найти приближение функции f(x) = esx  на отрезке [0, 1] многочленом Тейлора с точностью e = 10-3 . Вычислить es.

4. Вычислить приближенно по формуле средних прямоугольников интеграл  при n = 4 и оценить погрешность результата.

5. Методом Эйлера найти численное решение задачи Коши

y' = 2sy; y(0) = 1,  на отрезке [0, 1] с шагом h = 0.2.

Сравнить с точным решением.

Указания к выполнению лабораторных работ

Программой курса предусмотрено проведение четырех лабораторных работ. Лабораторные работы ориентированы на использование системы Maple.

Система Maple V была создана группой символьных вычислений в 1980 году в университете Waterloo, Канада. В конце 1997 года вышла реализация Maple V R5.

Maple V принадлежит к классу прикладных программных пакетов, объединенных под общим названием Computer Algebra Systems (CAS) - системы компьютерной алгебры. Самым важным отличием Maple от таких пакетов как MathCad, MatLAB, Mathematica, является то, что она была изначально задумана как символьный пакет. Как и любой представитель данного семейства продуктов, Maple ориентирована на решение широкого ряда математических проблем. Она включает в себя большое количество специальных пакетов для решения задач линейной и тензорной алгебры, евклидовой и аналитической геометрии, теории чисел, теории графов, теории вероятностей, математической статистики, комбинаторики, теории групп, численной аппроксимации и линейной оптимизации, задач финансовой математики и многих других.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24