Учебное пособие: Вычислительная математика

1.11998x4  =  –1.11998

Обратный ход. Обратный ход полностью совпадает с обратным ходом примера 3.1. Решение системы имеет вид:

x1 = 1.000, x2 = 2.000, x3 = 3.000, x4  =   – 1.000.

3.4 Вычисление определителя методом исключения Гаусса

Из курса линейной алгебры известно, что определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. В результате метода исключений Гаусса система линейных уравнений (3.2) с квадратной матрицей A приводится к эквивалентной ей системе (3.8) с треугольной матрицей An. Поэтому

det A = (–1)s det An,

где s – число перестановок строк, (s = 0, если использовался метод Гаусса по схеме единственного деления).Таким образом,

det A = (–1)s a11 aa …a                                                           (3.17)

Итак, для вычисления определителя det A необходимо выполнить процедуру прямого хода в методе Гаусса для системы уравнений Ax = 0, затем найти произведение главных элементов, стоящих на диагонали треугольной матрицы и умножить это произведение на (–1)s, где s – число перестановок строк.

Пример 3.3.

Вычислим определитель det A =

2.0    1.0    0.1    1.0

0.4    0.5    4.0    8.5

0.3    1.0    1.0    5.2

1.0    0.2    2.5    1.0

Данный определитель совпадает с определителем системы, рассмотренной в примере 3.1. Он равен произведению диагональных элементов треугольной матрицы (3.13):

det A = 2.0 × 0.30 × 16.425 × 1.12 = 11.0376.

Если же обратиться к примеру 3.2, то, учитывая, что была одна перестановка строк, т.е. s = 1, получим:

det A = (–1) × 2.0 × (–1.15)  × 4.28478 × 1.11998 = 11.0375.

3.5 Вычисление обратной матрицы методом исключения Гаусса

Обратной матрицей к матрице A называется матрица A-1, для которой выполнено соотношение:

A A-1 = E,                                                                                          (3.18)

где E – единичная матрица:

1   0   0  …  0     

0   1   0  …  0

E =    0   0   1  …  0   .                                                                       (3.19)

0   0   0  …  1  

Квадратная матрица A называется невырожденной, если det A ¹ 0. Всякая невырожденная матрица имеет обратную матрицу.

Вычисление обратной матрицы можно свести к рассмотренной выше задаче решения системы уравнений.

Пусть  A – квадратная невырожденная матрица порядка n:

          a11   a12   a13  …  a1n     

          a21   a22   a23  …  a2n     

A =    a31   a32   a33  …  a3n    

          an1   an2   an3  …  ann    

и A-1 – ее обратная матрица:

           x11   x12   x13  …  x1n     

           x21   x22   x23  …  x2n     

A-1 =   x31   x32   x33  …  x3n    

           xn1   xn2   xn3  …  xnn    

Используя соотношения (3.18), (3. 19) и правило умножения матриц, получим систему из n2 уравнений с n2 переменными xij, i, j = 1, 2, …, n. Чтобы получить первый столбец матрицы E, нужно  почленно умножить каждую строку матрицы A на первый столбец матрицы  A-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу первого столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

a11x11 + a12 x21 + a13x31 + … + a1nxn1 = 1

a21x11 + a22 x21 + a23x31 + … + a2nxn1 = 0

a31x11 + a32 x21 + a33x31 + … + a3nxn1 = 0                                       (3.20)

an1x11 + an2 x21 + an3x31 + … + annxn1 = 0

Аналогично, чтобы получить второй столбец матрицы E, нужно  почленно умножить каждую строку матрицы A на второй столбец матрицы  A-1 и приравнять полученное произведение соответствующему элементу второго столбца матрицы E. В результате получим систему уравнений:

a11x12 + a12 x22 + a13x32 + … + a1nxn2 = 0

a21x12 + a22 x22 + a23x32 + … + a2nxn2 = 1

a31x12 + a32 x22 + a33x32 + … + a3nxn2 = 0                                          (3.21)

an1x12 + an2 x22 + an3x32 + … + annxn2 = 0

и т. д.

Всего таким образом получим n систем по n уравнений в каждой системе, причем все эти системы имеют одну и ту же матрицу A и отличаются только свободными членами. Приведение матрицы A к треугольной по формулам (3.7) делается при этом только один раз. Затем по последней из формул (3.7) преобразуются все правые части, и для каждой правой части делается обратный ход.

Пример 3.4.

Вычислим обратную матрицу A-1 для матрицы

A =    1.8   –3.8    0.7    –3.7

0.7     2.1  –2.6    –2.8

7.3     8.1    1.7    –4.9

1.9   –4.3  –4.3    –4.7

По формулам (3.7) за три шага прямого хода преобразуем матрицу A в треугольную матрицу

1.8              –3.8               0.7              –3.7

0                   3.57778    –2.87222       –1.36111

0                   0               17.73577       19.04992

0                   0                  0                   5.40155

Далее, применим процедуру обратного хода четыре раза для столбцов свободных членов, преобразованных по формулам (3.7) из столбцов единичной матрицы:

1           0             0           0

0           1             0           0

0  ,        0  ,          1  ,        0

0           0             0           1

Каждый раз будем получать столбцы матрицы A-1. Опустив промежуточные вычисления, приведем окончательный вид матрицы A-1:

–0.21121   –0.46003    0.16248     0.26956

–0.03533     0.16873    0.01573   –0.08920

  0.23030     0.04607  –0.00944   –0.19885 .

–0.29316   –0.38837    0.06128     0.18513

3.6 Метод простой итерации Якоби

Метод Гаусса обладает довольно сложной вычислительной схемой. Кроме того, при вычислениях накапливается ошибка округления, что может привести к недостаточно точному результату. Рассмотрим метод простой итерации Якоби, свободный от этих недостатков, хотя требующий приведения исходной системы уравнений к специальному виду.

Для того, чтобы применить метод простой итерации, необходимо систему уравнений

Ax = b                                                                                               (3.22)

с квадратной невырожденной матрицей A привести к виду

x = Bx + c,                                                                                       (3.23)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24