Учебное пособие: Вычислительная математика

a0 » –2.20, a1 » 1.27, a2 » 0.07.

P2(x) = a0 + a1x + a2x2 = –2.20 + 1.27x + 0.07x2.

Сравним значения, рассчитанные для функциональной зависимости, с исходными данными. Результаты приведены в табл.2.4.

Таблица 4.2

Погрешность приближения в соответствии с формулами (4.24) и (4.32) составит

D1 =  = 0.245.

D2 =  = 0.084.

Тема 5. Численное интегрирование функций одной переменной

5.1 Постановка задачи численного интегрирования

Далеко не все интегралы можно вычислить по известной из математического анализа формуле Ньютона – Лейбница:

I == F(b) – F(a),                                (5.1)

где F(x) – первообразная функции f(x). Например, в элементарных функциях не выражается интеграл . Но даже в тех случаях, когда удается выразить первообразную функцию F(x) через элементарные функции, она может оказаться очень сложной для вычислений. Кроме того, точное значение интеграла по формуле (5.1) нельзя получить, если функция f(x) задается таблицей. В этих случаях обращаются к методам численного интегрирования.

Суть численного интегрирования заключается в том, что подынтегральную функцию f(x) заменяют другой приближенной функцией, так, чтобы, во-первых, она была близка к f(x) и, во вторых, интеграл от нее легко вычислялся. Например, можно заменить подынтегральную функцию интерполяционным многочленом. Широко используют квадратурные формулы:

» ,                                                                                  (5.2)

где xi – некоторые точки на отрезке [a, b],называемые узлами квадратурной формулы, Ai – числовые коэффициенты, называемые весами квадратурной формулы, n ³ 0 – целое число.

5.2 Метод прямоугольников

Формулу  прямоугольников можно получить из геометрической интерпретации интеграла. Будем интерпретировать интеграл  как площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = f(x), осью абсцисс и прямыми x = a и x = b (рис. 5.1).

Рис. 5.1

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длиной h, так, что h = . При этом получим точки a = x0 < x1< x2 < … < xn = b и  xi+1 = xi  + h, i = 0, 1, … , n – 1 (рис. 5.2)

Рис. 5.2

Заменим приближенно площадь криволинейной трапеции площадью ступенчатой фигуры, изображенной на рис. 5.3.

Рис. 5.3

Эта фигура состоит из n прямоугольников. Основание i-го прямоугольника образует отрезок [xi, xi+1] длины h, а высота основания равна значению функции в середине отрезка [xi, xi+1],  т е. f(рис. 5.4).

Рис. 5.4

Тогда получим квадратурную формулу средних прямоугольников:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24