Учебное пособие: Вычислительная математика

|32.1| > |0.9| + |2.5| + |1.3|.

Пусть требуемая точность e = 10-3. Вычисления будем проводить с четырьмя знаками после десятичной точки.

Приведем систему к виду (3.25):

x1  =                   – 0.0574 x2  – 0.1005x3  –  0.0431x4 + 1.0383

x2  = –0.0566x1                      – 0.0708x3 –  0.1179x4 + 1.2953

x3  = –0.1061x1 – 0.0758 x2                                 –  0.0657x4 + 1.4525        (3.34)

x4  = –0.0280x1 – 0.0779 x2   – 0.0405x3                     + 1.5489

Величина b  = max |bij|, i, j  = 1, 2, 3,4 равна 0.1179, т. е. выполняется условие b £ , и можно пользоваться  критерием окончания итерационного процесса (3.32).

В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов:

x = 1.0383, x = 1.2953, x = 1.4525, x = 1.5489.                      (3.35)

Вычисления будем вести до тех пор, пока все величины |x– x|, i = 1, 2, 3, 4, а следовательно, и max|x– x| не станут меньше e = 10-3.

Последовательно вычисляем:

при k = 1

x   =                    – 0.0574x  – 0.1005x  –  0.0431x + 1.0383 = 0.7512

x  = –0.0566x                       – 0.0708x –  0.1179x + 1.2953 = 0.9511

x  = –0.1061x – 0.0758 x                                  –  0.0657x + 1.4525  = 1.1423

x = –0.0280x – 0.0779x   – 0.0405x                        + 1.5489 = 1.3601

при k = 2

x= 0.8106,    x= 1.0118,     x= 1.2117,   x= 1.4077.

при k = 3

x= 0.7978,    x= 0.9977,     x= 1.1975,   x= 1.3983.

при k = 4

x= 0.8004,    x= 1.0005,     x= 1.2005,    x = 1.4003.

Вычисляем модули разностей значений xпри k = 3 и k = 4:

| x– x| = 0.026,  | x– x| = 0.028,  | x– x| = 0.0030,  | x– x| = 0.0020.

Так как все они больше заданной точности e = 10-3, продолжаем итерации.

При k = 5

x= 0.7999, x= 0.9999, x= 1.1999, x = 1.3999.

Вычисляем модули разностей значений xпри k = 4 и k = 5:

| x– x| = 0.0005, | x– x| = 0.0006, | x – x| = 0.0006, | x–  x| = 0.0004.

Все они меньше заданной точности e = 10-3, поэтому итерации заканчиваем. Приближенным решением  системы являются следующие значения:

x1  0.7999,   x2  0.9999,   x3  1.1999,   x4  1.3999.

Для сравнения приведем точные значения переменных:

x1 = 0.8,   x2 = 1.0,   x3 = 1.2,   x4 = 1.4.

3.7 Метод Зейделя

Модификацией метода простых итераций Якоби можно считать метод  Зейделя.

В методе Якоби на (k+1)-ой итерации значения x, i = 1, 2, …, n. вычисляются подстановкой в правую часть (3.27) вычисленных на предыдущей итерации значений x. В методе Зейделя при вычислении xиспользуются значения x, x, x, уже найденные на (k+1)-ой итерации, а не  x, x, …, x, как в методе Якоби, т.е. (k + 1)-е приближение строится следующим образом:

 x  =                   b12 x         + b13 x    + … + b1,n-1 x  + b1n x  + c1

x = b21 x                                       + b23 x    + … + b2,n-1 x  + b2n x   + c2

x= b31 x +   b32 x                        + … + b3,n-1 x  +  b3n x   + c3 (3.36)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24