Учебное пособие: Вычислительная математика

b0 ==; b1 ==; b2 = .                      (4.26)

           c0    c1    c2                 

C =     c1     c2    c3    .

           c2    c3    c4

b = (b0, b1, b2)T .

Решение системы уравнений  Ca = b найдем по правилу Крамера:

ai = , i = 0, 1,

где úCú  –  определитель матрицы C, аúCiú – определитель матрицы Ci, полученной из матрицы C заменой i-го столбца столбцом свободных членов b.

úCú = c0c2c4 + 2c1c2c3  –  c –  сc4  – cc0.                                       (4.27)

               b0    c1  c2 

úC1ú =   b1    c2   c3  = b0c2c4 + b2c1c3 + b1c2c3 – b2c– b1c1c4 – b0c.    (4.28)

              b2    c3   c4

             c0    b0   c2   

úC2ú =  c1    b1    c3 = b1c0c4 + b0c2c3 + b2c1c2 – b1c– b0c1c4 – b2c0c3.   (4.29)

             c2    b2   c4

  c0    c1    b0 

úC3ú =  c1    c2    b1  = b2c0c2 + b1c1c2 + b0c1c3 – b0c– b2c – b1c0c3.    (4.30)

c2    c3    b2

a0 = , a1 = , a2 = .                                                                 (4.31)

Алгоритм 4.2 (Алгоритм метода наименьших квадратов. Квадратичная аппроксимация).

Шаг 1. Ввести исходные данные: xi, yi, i=0, 1, 2, ... , n.

Шаг 2. Вычислить коэффициенты c0,  c1, c2, c3, c4, b0, b1, b2, по формулам (4.25), (4.26).

Шаг 3. Вычислить úCú, úC1ú, úC2ú, úC3ú по формулам (4.27) – (4.30).

Шаг 4. Вычислить a0, a1, a2 по формулам (4.31).

Шаг 5. Вычислить величину погрешности

D2 = .                                              (4.32)

Шаг 5. Вывести на экран результаты : аппроксимирующую квадратичную функцию P2(x) = a0 + a1x + a2x2  и величину погрешности D2.

Пример 4.6.

Построим по методу наименьших квадратов многочлены первой и второй степени и оценим степень приближения. Значения yi в точках xi , i =0, 1, 2, 3, 4 приведены в таблице 2.3.

Таблица 4.1

Вычислим коэффициенты c0,  c1, c2, c3, c4, b0, b1, b2, по формулам (4.25), (4.26):

c0 = 5; c1 = 15; c2 = 55; c3 = 225; c4 = 979;

b0 = 12;  b1 = 53;  b2 = 235.

1. Линейная аппроксимация (m =1).

Система уравнений для определения коэффициентов a0 и a1 многочлена первой степени P2(x) = a0 + a1x + a2x2  имеет вид

5a0 + 15a1 = 12

15a0 + 55a1 = 53

По формулам (4.23) найдем  коэффициенты a0 и a1:

a0 =  » –2.7,  a1 = » 1.7.    

P1(x) = a0 + a1x =  –2.7 + 1.7x.

2. Квадратичная аппроксимация (m =2).

Система уравнений для определения коэффициентов a0, a1 и a2 многочлена второй степени P2(x) = a0 + a1x + a2x2  имеет вид

5a0 +   15a1 +   55a2 =   12

15a0 +   55a1 + 225a2 =   53

55a0 + 225a1 + 979a2 = 235

По формулам (4.31) найдем  коэффициенты a0, a1 и a2:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24