Учебное пособие: Вычислительная математика

Пример 2.2.

Используем метод простой итерации для решения уравнения f(x) = sin x – x2 = 0 с точностью e = 0.001.

Преобразуем уравнение к виду (2.4):

x = , т. е. j(x)= .

Нетрудно убедиться, что корень уравнения находится на отрезке [p/6, p/3]. Например, вычислив значения f(x) на концах отрезка, получим: f(p/6)> 0, а f(p/3)< 0, т. е. функция на концах отрезка имеет разные знаки, что в соответствии с теоремой 2.1 указывает на то, что внутри отрезка есть корень. Расположение корня наглядно иллюстрирует рис.2.7.

Рис. 2.7

Подсчитаем, первую и вторую производные функции j(x):

j '(x) = , j"(x) = .

Так как j"(x) > 0 на отрезке [p/6, p/3], то производная j '(x) монотонно возрастает на этом отрезке и принимает максимальное значение на правом конце отрезка, т. е. в точке p/3. Поэтому, справедлива оценка:

|j '(x)| £ |j '(p/3)| » 0.312.

Таким образом, условие (2.7) выполнено, q < 0.5, и можно воспользоваться критерием окончания вычислений в виде (2.10). В табл. 2.2 приведены приближения, полученные по расчетной формуле (2.5). В качестве начального приближения выбрано значение x0 = 1.

Таблица 2.2

Критерий окончания выполняется при n = 5, |x5 – x4| < 0.001. Сходимость  двусторонняя, качественный характер такой сходимости представлен на рис. 2.4. Приближенное значение корня  с требуемой точностью x* 0.8765.

2.5 Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона является наиболее эффективным методом решения нелинейных уравнений.

Пусть корень x* Î [a, b], так, что f(a)f(b) < 0. Предполагаем, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a, b).  Положим x0 = b. Проведем касательную к графику функции y = f(x) в точке B0 = (x0, f(x0)) (рис. 2.8).

Рис. 2.8

Уравнение касательной будет иметь вид:

y – f(x0) = f '(x0)(x – x0).                                                                    (2.11)

Первое пересечение получим, взяв абсциссу точки пересечения этой касательной с осью OX, т. е. положив в (2.11) y = 0, x = x1:

x1 = x0  – .                                                                               (2.12)

Аналогично поступим с точкой B1(x1, f(x1)), затем с точкой B2(x2, f(x2)), и т. д. в результате получим последовательность приближений x1, x2, …, xn , …,причем

xn +1 = xn  – .                                                                             (2.13)

Формула (2.13) является расчетной формулой метода Ньютона.

Метод Ньютона можно рассматривать как частный случай метода простых итераций, для которого

j(x) = x - .                                                                                (2.14)

Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона устанавливает следующая теорема.

Теорема 2.3.  Пусть x*  – простой корень уравнения  f(x) = 0, и в некоторой окрестности этого корня функция f дважды непрерывно дифференцируема. Тогда найдется такая малая s-окрестность корня x*, что при произвольном выборе начального приближения x0 из этой окрестности итерационная последовательность, определенная по формуле (2.13) не выходит за пределы этой окрестности и справедлива оценка:

|xn + 1 – x*| £ C |xn – x*|2, n 0,                                                           (2.15)

где С = s -1. Оценка (2.15) означает, что метод сходится с квадратичной скоростью.

Сходимость метода Ньютона зависит от того, насколько близко к корню выбрано начальное приближение. Неудачный выбор начального приближения может дать расходящуюся последовательность. Полезно иметь в виду следующее достаточное условие сходимости метода. Пусть [a, b] – отрезок, содержащий корень. Если в качестве начального приближения x0 выбрать тот из концов отрезка, для которого

f(x)f"(x) ³  0,                                                                                        (2.16)

то итерации (2.13) сходятся, причем монотонно. Рис. 2.8 соответствует случаю, когда в качестве начального приближения был выбран правый конец отрезка: x0 = b.

Погрешность метода. Оценка (2.15) является априорной и неудобна для практического использования. На практике удобно пользоваться следующей апостериорной оценкой погрешности:

|xn – x*| £  |xn – xn – 1|.                                                                           (2.17)

Критерий окончания. Оценка (2.17) позволяет сформулировать следующий критерий окончания итераций метода Ньютона. При заданной точности e > 0 вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет выполнено неравенство

|xn – xn – 1| < e.                                                                                     (2.18)

Пример 2.3.

Применим метод Ньютона для вычисления . где a > 0, p – натуральное число. Вычисление  эквивалентно решению уравнения xp = a. Таким образом, нужно найти корень уравнения f(x) = 0, f(x) = xp – a, f '(x) = pxp – 1. Итерационная формула метода (2.13) примет вид:

xn +1 = xn  –  =  xn  + .                                      (2.19)

Используя формулу (2.19), найдем  с точностью e = 10-3.

xn +1 =  xn  + .

Простой корень уравнения x3 – 7 = 0 расположен на отрезке [1, 2]. Действительно, на концах отрезка [1, 2] функция f(x) = x3 – 7 принимает разные знаки, f (1) < 0,  f (2) > 0. Кроме того, при x = 2 выполнено достаточное условие сходимости (2.16): f (2)f" (2) ³ 0.

Поэтому в качестве начального приближения можно взять x0 = 2.

Результаты приведены в табл. 2.3.

Таблица 2.3

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24