Курсовая работа: Математическая модель в пространстве состояний линейного стационарного объекта управления

Введем расширенный вектор состояния .

Тогда матрица Z будет иметь следующий вид: ,

или в численном виде

.

Собственные значения матрицы : .

Зная собственные значения и собственные вектора матрицы Z, построим матрицу

По определению все решения должны быть устойчивы при любых начальных условиях , т.е. при . Чтобы не оперировать комплексными числами, осуществим следующий переход. Пусть:

Тогда матрица  формируется следующим образом:

.

Можно показать, что матрицу можно получить из прямой матрицы собственных векторов:

,

.

Установившееся решение уравнения Риккати, полученное с помощью скрипта Solve_Riccati_Method_Diag.m. имеет вид:

5.1.2 Решение алгебраического уравнения Риккати интегрированием в обратном времени до установившегося состояния

Весовые матрицы и такие же как и в пункте (5.1.1).

Матрицы  тоже аналогичны.

Запишем уравнение Риккати

.

Зная, что , решаем уравнение методом обратного интегрирования на достаточно большом интервале (примерно 10 с.), получим установившееся решение с помощью скрипта

Solve_Riccati_Method_Revers_Integr.m.:

Рис.22. Графики решения уравнения Риккати.

Найдем разницу между решениями уравнения Риккати в пунктах 5.1.1 и 5.1.2:

Выводы: сравнивая решения полученные в пунктах 5.1.1 и 5.1.2 можно сказать, что решения уравнения Риккати первым и вторым методами совпадают с заданной точностью. Погрешность расхождения решений невелика.

Используя скрипт AKOR_stabilizaciya_na_polybeskon_interval.m получим коэффициенты регулятора, фазовые координаты системы и управление.

Рис.23. Графики коэффициентов регулятора обратной связи.

Рис.24. Графики фазовых координат.

Рис.25. График управления.

Выводы: т.к. решения уравнения Риккати методом диагонализации и интегрирования в обратном времени дают практически одинаковый результат, то можно считать, что задача АКОР – стабилизации на полубесконечном интервале решена с заданной точностью.

5.2 Стабилизации объекта управления на конечном интервале времени

Рассмотрим линейный объект управления, описываемый системой дифференциальных уравнений в нормальной форме

Начальные условия для заданной системы

Время стабилизации .

Необходимо получить закон управления

минимизирующий функционал вида

Закон оптимального управления в данной задаче имеет вид

Матричное дифференциальное уравнение Риккати будет иметь следующий вид:

Если обозначить  то можно записать

Уравнение замкнутой скорректированной системы примет вид

Матрицы заданы в пункте 5.1.1.

Весовые матрицы и имеют следующий вид:

, .

Используя скрипт AKOR_stabilizaciya_na_konech_interval.m получили следующие результаты:

Рис.26. Графики решения уравнения Риккати.

Рис.27. Графики коэффициентов регулятора обратной связи.

Рис.28. Графики фазовых координат.

Рис.29. График управления.

Сравним, как стабилизируется система управления с постоянными и переменными коэффициентами регулятора обратной связи на начальном этапе:

Рис.30. Графики фазовых координат.

Выводы: из графиков видно, что система, у которой коэффициенты регулятора меняются со временем, стабилизируется не хуже, чем, система, у которой коэффициенты регулятора не изменяются.

5.3 Задача АКОР – стабилизации для компенсации
известного возмущающего воздействия

Рассмотрим систему вида

,

где  – возмущающее воздействие.

Матрицы заданы в пункте 5.1.1.

Весовые матрицы и имеют следующий вид:

, .

Начальные условия для заданной системы .

Время стабилизации .

Задаем возмущающее воздействие только на первую координату, так как только она имеет значение

 и .

Решение задачи стабилизации сводится к решению уравнения Риккати

с начальными условиями:

Введём вспомогательную вектор-функцию , ДУ которой имеет вид:

с начальными условиями: .

Управление определяется по формуле:

.

Используя скрипт AKOR_stabilizaciya_pri_vozmusheniyah.m, получили следующие результаты:

Рис.31. Графики решения уравнения Риккати.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17