Дипломная работа: Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Всего различных матриц второго порядка над Z6: 64=1296.

В Z6 обратимыми элементами являются 1 и 5. Аналогично рассмотрим, сколько обратимых матриц с определителем равным 1:
|A|=ad-bc=1.

Разобьем на следующие варианты:

1. ad=5. Возможные случаи:

1)  a=1 Ù d=5,

2)  a=5 Ù d=1,

bc=4. Возможные случаи:

1)  b=1 Ù c=4,

2)  b=4 Ù c=1,

3)  b=2 Ù c=5,

4)  b=5 Ù c=2,

5)  b=c=2,

6)  b=c=4.

Получили с данным условием 12 обратимых матриц.

2. ad=4. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=3. Возможные случаи:

1)  b=3 Ù c=1,

2)  b=1 Ù c=3,

3)  b=3 Ù c=5,

4)  b=5 Ù c=3,

5)  b=c=3.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

3. ad=3. Возможно 5 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=2. Возможные случаи:

1)  b=2 Ù c=1,

2)  b=1 Ù c=2,

3)  b=2 Ù c=4,

4)  b=4 Ù c=2,

5)  b=4 Ù c=5,

6)  b=5 Ù c=4.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

4. ad=2. Возможно 6 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=1. Возможные случаи:

1)  b=c=1,

2)  b=c=5.

Получили с данным условием 12 обратимых матриц.

5. ad=1. Возможно 2 случая (см. предыдущий пункт).

bc=0. Возможные случаи:

1)  b=0 Ù c=1,

2)  b=0 Ù c=2,

3)  b=0 Ù c=3,

4)  b=0 Ù c=4,

5)  b=0 Ù c=5,

6)  b=1 Ù c=0,

7)  b=2 Ù c=0,

8)  b=3 Ù c=0,

9)  b=4 Ù c=0,

10)  b=5 Ù c=0,

11)  b=2 Ù c=3,

12)  b=3 Ù c=2,

13)  b=3 Ù c=4,

14)  b=4 Ù c=3,

15)  b=c=0.

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

6. ad=0. Возможно 15 случаев (см. предыдущий пункт).

bc=5. Возможно 2 случая (см. первый пункт).

Получили с данным условием 30 обратимых матриц.

Таким образом по данной классификации получаем 12+30+30+12+30+30=144 обратимых матриц, определитель которых
равен 1. Аналогичную классификацию можно составить для обратимых матриц с определителем равным 5, и число таких матриц будет также равно 144.

Следовательно, из 1296 квадратных матриц второго порядка над Z6 обратимыми являются 288.

Обратимые матрицы над Z8

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10