Дипломная работа: Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Минором элемента aij называется определитель (n-1) – порядка, полученный из данного определителя n-го порядка, путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.

Минор aij элемента обозначается Мij.

Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j.

Алгебраическое дополнение элемента обозначается Аij=(-1)i+j× Мij.

Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB=BA=E,
где E - единичная матрица. Равенство AB=BA показывает (нетрудно видеть, используя правило умножения матриц), что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково.

Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы.

Если матрица А имеет обратную, то она единственна.

Покажем это. Пусть АВ=СА=Е и СВ, тогда заметим: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В. Что противоречить условию.

Определитель произведения любых двух матриц n-го порядка равен произведению их определителей.

Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n-го порядка:

, , …,

Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т.е. столбец из n n-мерных столбцов)

Тогда =×1=×==

====.
 Что требовалось доказать.

Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Zn.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.

Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица.

Покажем это. Пусть A=(aij) –невырожденная квадратная матрица (). Рассмотрим матрицу А*=, где Аij – алгебраическое дополнение элементов определителя , причем алгебраические дополнения i-й сроки стоят в i-ом столбце.

Найдем произведение С=АА*, где С=(сij)

 и т.д.

Найдя все элементы матрицы С по описанному выше алгоритму,
в итоге, получим следующее:, т.е. . Значит матрица А* - обратная  к невырожденной матрице А.

Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А () имеет обратную А*, тогда верными будут следующие равенства: А·А*=Е,, , .
 Что в принципе не верно.

Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Zn называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Zn .

§2. Обратимые матрицы над полем Zp

В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Zp, где p – простое.

1. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2.

Будем рассматривать матрицы .

Алгебраическое дополнение к элементу  есть определитель матрицы  порядка 1, т.е. . Алгебраическое дополнение к элементу  есть определитель матрицы  порядка 1, т.е. .

Нужно найти количество всех невырожденных матриц
(когда ). При этом

            (1.1)

Формулу выведем в 2 этапа.

1)  Пусть  (р-1 штук),  (р-1 штук),

 (по р штук)     (1.2).

Тогда количество матриц, удовлетворяющих данным условиям, вычисляется по формуле

(р-1)2р2          (1.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .

В условии (1.2) не учитываются матрицы вида  с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить.
Но сосчитали матрицы вида  с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

 Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково.

а)  (р-1 штук),  и . Из (1.1) получаем равенство . Значит . При заданном  (где =1,2…р-1) элемент  однозначно выражается через  и  (количество невырожденных матриц  – р-1). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3 штук.

б) ,  и . Значит . Отсюда . Элемент  однозначно выражается через , , , которые принимаю не нулевые значения. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)3 штук

Значит формула (1.3) при условии (1.2) верна.

2)  Пусть . Тогда  , а из (1.1) получаем что  и  (как в первом этапе, случае а). Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)2×р  (1.4)

Этими этапами мы перебрали все случаи невырожденных матриц.

Складывая формулы (1.3) и (1.4) полученные в этапах 1) и 2) получаем формулу для нахождения количества обратимых матриц порядка 2 над полем Zp

(р-1)2×р×(р+1)   (1.5)

2. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 3.

Будем рассматривать матрицы .

Алгебраические дополнения к элементам ,  и  есть определители матриц ,  и  соответственно, порядка 2, при чем ,  и .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10