Дипломная работа: Обратимые матрицы над кольцом целых чисел

Нужно найти количество всех невырожденных матриц ().
 При этом

        (2.1)

Формулу выведем в 3 этапа.

1)  Пусть  (р-1 штук),  (их количество по формуле (1.5)),  (по р штук) (2.2).

Тогда количество таких матриц вычисляется по формуле

(р-1)3р5(р+1)          (2.3)

Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что , .

При условии (2.2) не учитываются матрицы вида  с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить. Но сосчитали матрицы вида  с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.

Докажем, что количество матриц в обоих случаях одинаково:

а)  (р-1 штук),  и . Из (2.1) получаем равенство .

а1) Пусть =0. Тогда  и . Значит элементов  всего р-1 штук, количество невырожденных матриц  - (р-1)2р(р+1). Т.к  то из выражения  получаем равенство , т.е. хотя бы один из этих элементов не равен нулю. Пусть . Из того, что  получаем . Элементом , принимающим любое значение, можем однозначно задать элемент . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4×р2×(р+1) штук.

а2) Если ¹0, .Тогда  и . Значит элементов  всего р-1 штук, количество невырожденных матриц  - (р-1)2р(р+1). Т.к , то, из выражения  получаем . Пусть . Домножим равенство  () на . Заменим  на  (из того, что ). Получим равенство . Вынесем  за скобки  и т.к.  делаем вывод, что . Значит и  (). Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)5×р×(р+1) штук.

а3) Если ¹0,  и  получаем (р-1)4×р2×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а1)

а4) Если ¹0, ,  и  получаем
(р-1)5×р×(р+1) штук матриц удовлетворяющих этим условиям (рассуждение как в пункте а2)

а5) Если ¹0, ,  и . Из того, что  получаем . Пусть . Равенство  ()  умножим на  и заменим  на  (). Получим равенство . Вынося  за скобки (), замечаем, что элемент  однозначно выражается через  ( - р-1 штук). Но тогда  тоже выражается через эти элементы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)6×р×(р+1)штук.

Таким образом, общее количество матриц удовлетворяющих условию пункта а) подсчитывается по формуле
(р-1)4×р×(р+1)×(р2+2р-1) (получается суммированием формул полученных в пунктах а1-а5).

б)  (р-1 штук),  ((р-1)2×р×(р+1)) штук). Т.к. , значит        (2.4)

б1) Пусть =0. Тогда из (2.4) выводится равенство

         (2.5)

а из (2.5) получим . Распишем (2.5): . Т.е.  однозначно выражается через элемент , которых может быть р штук, и через элементы , , , , . Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям (р-1)4×р2×(р+1).

б2) Если ¹0, .Тогда получим опять равенство (2.5) и из него . Элементов  всего р-1 штук. Т.к , то получаем  что . Пусть . Умножив равенство (2.5) на , выражая  и произведя замену  на  получим равенство . А т.к.  и  делаем вывод, что  и  выражаются через все остальные элементы матрицы. Поэтому количество матриц удовлетворяющих этим условиям
(р-1)5×р×(р+1) штук.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10