Дипломная работа: Высшая математика для менеджеров

Пример 3.29. Темпы роста y производительности труда по годам в промышленности республики приведены в таблице.

Предполагая, что зависимость y от x линейная: y = ax + b, найти a и b.

Решение. Вычислим коэффициенты нормальной системы уравнений: .

Следовательно, имеем систему, решая которую, получим: a » 15,93; b » 110,57. Итак, получили уравнение искомой прямой: y = 15,93x + 110,57.

8. Интегралы

8.1 Основные методы интегрирования

Функция F(x), дифференцируемая в данном промежутке X, называется первообразной для функции f(x), или интегралом от f(x), если для всякого x Î X справедливо равенство:

F¢ (x) = f(x).                                        (8.1)

Нахождение всех первообразных для данной функции называется ее интегрированием. Неопределенным интегралом функции f(x) на данном промежутке Х называется множество всех первообразных функций для функции f(x); обозначение -

ò f(x) dx.

Если F(x) - какая-нибудь первобразная для функции f(x), то

ò f(x)dx = F(x) + C,                                    (8.2)

где С - произвольная постоянная.

Непосредственно из определения получаем основные свойства неопределенного интеграла и список табличных интегралов:

1) d ò f(x)=f(x)dx,

2) ò df(x)=f(x)+C,

3) ò af(x)dx=aò f(x)dx (a=const),

4) ò(f(x)+g(x))dx= ò f(x)dx+ ò g(x)dx.

Список табличных интегралов

1. ò xm dx = xm+1/(m + 1) +C (m ¹ -1).

2.= ln êx ê +C.

3. ò ax dx = ax/ln a + C (a>0, a¹1).

4. ò ex dx = ex + C.

5. ò sin x dx = cos x + C.

6. ò cos x dx = - sin x + C.

7. = arctg x + C.

8. = arcsin x + C.

9. = tg x + C.

10. = - ctg x + C.

Для интегрирования многих функций применяют метод замены переменной, или подстановки, позволяющий приводить интегралы к табличной форме.

Если функция f(z) непрерывна на [a, b], функция z=g(x) имеет на [a,b] непрерывную производную и a £ g(x) £b, то

ò f(g(x)) g¢ (x) dx = ò f(z) dz,                          (8.3)

причем после интегрирования в правой части следует сделать подстановку z=g(x).

Для доказательства достаточно записать исходный интеграл в виде:

ò f(g(x)) g¢ (x) dx = ò f(g(x)) dg(x).

Например:

1) ;

2).

Пусть u = f(x) и v = g(x) - функции, имеющие непрерывные производные. Тогда, по правилу дифференцирования произведения,

d(uv)= udv + vdu или udv = d(uv) -vdu.

Для выражения d(uv) первообразной, очевидно, будет uv, поэтому имеет место формула:

ò udv = uv - ò vdu.         (8.4)

Эта формула выражает правило интегрирования по частям. Оно приводит интегрирование выражения udv=uv'dx к интегрированию выражения vdu=vu'dx.

Пусть, например, требуется найти ò x cosx dx. Положим u = x, dv = cos x dx, так что du=dx, v=sinx. Тогда

ò x cos x dx = ò x d(sin x) = x sin x - ò sin x dx = x sin x + cos x + C.

Правило интегрирования по частям имеет более ограниченную область применения, чем замена переменной. Но есть целые классы интегралов, например,

ò xk lnmx dx, ò xk sin bx dx, ò xk cos bx dx, ò xk e ax dx

и другие, которые вычисляются именно с помощью интегрирования по частям.

Понятие определенного интеграла вводится следующим образом. Пусть на отрезке [a, b] определена функция f(x). Разобьем отрезок [a, b] на n частей точками a = x0 < x1 <...<xn = b. Из каждого интервала (xi-1, xi) возьмем произвольную точку xi и составим сумму f(xi)D xi, где D xi = xi - xi-1. Сумма вида f(xi)D xi называется интегральной суммой, а ее предел при l = max D xi ®0, если он существует и конечен, называется определенным интегралом функции f(x) от a до b и обозначается:

 f(xi)D xi.        (8.5)

Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке [a, b], числа a и b носят название нижнего и верхнего предела интеграла.

Для определенного интеграла справедливы следующие свойства:

1) ;

2) ;

3) - ;

4) , (k = const, kÎR);

5) ;

6) ;

7) f(x)(b-a) (xÎ[a,b]).

Последнее свойство называется теоремой о среднем значении.

Пусть f(x) непрерывна на [a, b]. Тогда на этом отрезке существует неопределенный интеграл

ò f(x) dx = F(x) + C

и имеет место формула Ньютона-Лейбница, cвязывающая определенный интеграл с неопределенным:

 F(b) - F(a).     (8.6)

Геометрическая интерпретация: определенный интеграл  представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y= f(x), прямыми x = a и x = b и отрезком оси Ox.

Интегралы с бесконечными пределами и интегралы от разрывных (неограниченных) функций называются несобственными. Несобственные интегралы I рода - это интегралы на бесконечном промежутке, определяемые следующим образом:

.    (8.7)

Если этот предел существует и конечен, то  называется сходящимся несобственным интегралом от f(x) на интервале [а,+¥), а функцию f(x) называют интегрируемой на бесконечном промежутке [а,+¥). В противном случае про интеграл  говорят, что он не существует, или расходится.

Аналогично определяются несобственные интегралы на интервалах (-¥, b] и (-¥, +¥):

.

Определим понятие интеграла от неограниченной функции. Если f(x) непрерывна для всех значений x отрезка [a,b], кроме точки с, в которой f(x) имеет бесконечный разрыв, то несобственным интегралом II рода от f(x) в пределах от a до b называется сумма:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24