Дипломная работа: Высшая математика для менеджеров

f(x) = ¥            (f(x) = - ¥).

Переменная величина (т.е. последовательность или функция), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной.

Переменная величина, имеющая бесконечный предел, называется бесконечно большой величиной.

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1. Если существуют пределы  f(x)=A,  g(x)=B, то

 (f(x)+(g(x)) = A + B,        (6.4)

 f(x) g(x) = AB,                (6.5)

 f(x)/g(x) = A/B  (B ¹ 0).   (6.6)

Замечание. Выражения вида 0/0, ¥ /¥, 0 × ¥, ¥ - ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

(f(x))a = ( f(x)) a, где a = const,       (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

 bf(x) =bA, где b = const,  f(x)=A;           (6.8)

 logc f(x) = logc f(x), где c = const.         (6.9)

Теорема 3.  = 1,  = 1, a = const, a >0,

 = 1,      (6.10)

(1 + a)1/ a = e,        (6.11)

где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.

Используются на практике и следствия формулы (6.11):

 = logc e,          (6.12)

(aa - 1)/a = ln a,                (6.13)

((1 + a) m - 1)/a = m,          (6.14)

в частности,

 = 1.

Eсли x® a и при этом x > a, то пишут x® a+0. Если, в частности, a=0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x®a и при этом x<a, то пишут x®a-0. Числа  и  называются соответственно пределом справа и пределом слева функции f(x) в точке а. Для существования предела функции f(x) при x®a необходимо и достаточно, чтобы =.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если

.      (6.15)

Условие (6.15) можно переписать в виде:

,

то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке.

Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при x = xo функция f(x) имеет разрыв. Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(xo)= f(0) не определено, поэтому в точке xo = 0 функция имеет разрыв.

Функция f(x) называется непрерывной справа в точке xo, если

,

и непрерывной слева в точке xo, если

.

Непрерывность функции в точке xo равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева.

Для того, чтобы функция была непрерывна в точке xo, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(xo). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв.

1. Если  существует и не равен f(xo), то говорят, что функция f(x) в точке xo имеет разрыв первого рода, или скачок.

2. Если  равен ¥ или не существует, то говорят, что в точке xo функция имеет разрыв второго рода.

Например, функция y = ctg x при x® +0 имеет предел, равный +¥, значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки.

Функция, непрерывная в каждой точке промежутка [a,b], называется непрерывной в [a,b]. Непрерывная функция изображается сплошной кривой.

Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п.

Рассмотрим пример Я.И. Перельмана, дающий интерпретацию числа e в задаче о сложных процентах. Число e есть предел e = . В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 × 1,5 = 150, а еще через полгода - в 150 × 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 × (1 +1/3)3 »237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:

100 × (1 +1/10)10 » 259 (ден. ед.),

100 × (1+1/100)100 » 270 (ден. ед.),

100 × (1+1/1000)1000 » 271 (ден. ед.).

При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что

= e.

Пример 3.1. Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность xn =(n-1)/n имеет предел, равный 1.

Решение. Нам надо доказать, что, какое бы e>0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство ½ xn -1 ½<e.

Возьмем любое e >0. Так как ½ xn -1 ½=½(n+1)/n - 1½= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<e. Отсюда n>1/e и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/e, N = E(1/e). Мы тем самым доказали, что  xn = 1.

Пример 3.2. Найти предел последовательности, заданной общим членом xn = .

Решение. Применим теорему о пределе суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n ®¥ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему о пределе частного. Поэтому сначала преобразуем xn, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n2, а второго на n. Затем, применяя теорему о пределе частного и о пределе суммы, найдем:

xn = .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24