Дипломная работа: Высшая математика для менеджеров

Решение. Обозначим через x1, x2, x3, x4 количество сырья, которое следует переработать по каждой технологии, чтобы выполнить плановое задание. Получим систему трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными:

x1 +  x2 +  x3 + x4 = 94,

2x1 +  x2 + 7x3 + 4x4 = 574,

6x1 +12x2 +2x3 + 3x4 = 328.

Решаем ее методом Гаусса:

 ~ ~ .

Имеем: r (А) = r (А) = 3, следовательно, число главных неизвестных равно трем, одно неизвестное x4 - свободное. Исходная система равносильна следующей:

x1 + x2 +  x3 = 94 - x4,

- x2 + 5x3 = 386 - 2x4,

26x3 = 2080- 9x4.

Из последнего уравнения находим x3 = 80 - 9/26 x4, подставляя x3 во второе уравнение, будем иметь: x2 = 14 + 7/26x4 и, наконец, из первого уравнения получим: x1 = - 12/13 x4. С математической точки зрения система имеет бесчисленное множество решений, т. е. неопределенна. С учетом реального экономического содержания величины x1 и x4 не могут быть отрицательными, тогда из соотношения x1 = - 12/13 x4 получим: x1 = x4 = 0. Тогда вектор (0, 14, 80, 0) является решением данной системы.

Пример 2.23. Математическая модель межотраслевого баланса.

Модель межотраслевого баланса, разработанная профессором В. Леонтьевым (Гарвардский университет, США), имеет вид:

,        (5.12)

или, в матричной форме,

AX + Y = X,         (5.13)

где А = (a i j) - матрица коэффициентов прямых затрат, Х - вектор валовых выпусков, Y - вектор конечного продукта.

Перепишем систему (5.13) в виде

(E - A) X = Y,       (5.14)

где E - единичная матрица n-го порядка, тогда решение системы (5.14) относительно неизвестных значений объемов производства продукции при заданном векторе конечного продукта находится по формуле

X = (E - A) -1 Y.             (5.15)

Здесь (E - A) -1 - матрица коэффициентов полных затрат. Элемент b i j матрицы (E - A) -1 характеризует потребность в валовом выпуске отрасли i, который необходим для получения в процессе материального производства единицы конечного продукта отрасли j. Благодаря этому имеется возможность рассматривать валовые выпуски x i в виде функций планируемых значений y j конечных продуктов отраслей:

.

Пример 2.24. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты - выпуск” X = AX +Y. Найти вектор конечной продукции Y при заданном X, где

A = ;

Решение. Имеем: Y = (E - A) X, где E - единичная матрица третьего порядка.

E - A = ,

значит,

Y=  .

Пример 2.25. Пусть дана леонтьевская балансовая модель “затраты-выпуск”. Определить, будет ли продуктивной матрица технологических коэффициентов A. Найти вектор валовой продукции X при заданном Y, где

A=.

Решение. Для решения вопроса о продуктивности матрицы A следует найти собственные значения этой матрицы. Составим характеристическое уравнение:

,

или

(0,125 -l)2 - 0,140625 = 0 Þ 0,125 - l = ± 0,375.

Следовательно, l1 = 0,5; l2 = - 0,25. Оба корня по модулю меньше единицы, значит, матрица технологических коэффициентов A продуктивная. Для определения вектора валовой продукции X имеем формулу X = (E - A) -1 Y. Найдем обратную матрицу для матрицы

E - A=.

Обозначим B = E-A, тогда .

Следовательно,

X = .

III. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

6. Предел функции

6.1 Предел последовательности и функции. Теоремы о пределах

Постоянное число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого сколь угодно малого положительного числа e существует номер N, что все значения xn, у которых n>N, удовлетворяют неравенству

êxn - a ê < e.         (6.1)

Записывают это следующим образом:  или xn ® a.

Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству

a- e < xn < a + e,   (6.2)

которое означает, что точки x n, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-e, a+e), т.е. попадают в какую угодно малую e-окрестность точки а.

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае - расходящейся.

Понятие предела функции является обобщением понятия предела последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции xn = f(n) целочисленного аргумента n.

Пусть дана функция f(x) и пусть a - предельная точка области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a. Точка a может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему.

Определение 1. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если для всякой последовательности {xn} значений аргумента, стремящейся к а, соответствующие им последовательности {f(xn)} имеют один и тот же предел А.

Это определение называют определением предела функции по Гейне, или “на языке последовательностей”.

Определение 2. Постоянное число А называется пределом функции f(x) при x®a, если, задав произвольное как угодно малое положительное число e, можно найти такое d >0 (зависящее от e), что для всех x, лежащих в d-окрестности числа а, т.е. для x, удовлетворяющих неравенству 0 < ½x-a½ < d, значения функции f(x) будут лежать в e-окрестности числа А, т.е. êf(x)-A ê < e.

Это определение называют определением предела функции по Коши, или “на языке e - d“.

Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x ® a имеет предел, равный А, это записывается в виде

 f(x) = A.        (6.3)

В том случае, если последовательность {f(xn)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x к своему пределу а, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел, и записывать это в виде:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24