Дипломная работа: Высшая математика для менеджеров

Пример 3.15. Вычислить производную функции y=(3x3-2x+1)×sin x.

Решение. По правилу 3, y'=(3x3-2x+1)'×sin x + (3x3-2x+1)×(sin x)' = = (9x2-2)sin x + (3x3-2x+1)cos x.

Пример 3.16. Найти y', y = tg x +.

Решение. Используя правила дифференцирования суммы и частного, получим: y'=(tgx + )' = (tgx)' + ()' = +  = .

Пример 3.17. Найти производную сложной функции y=, u=x4 +1.

Решение. По правилу дифференцирования сложной функции, получим: y'x =y 'u u'x =()'u(x4 +1)'x =(2u +. Так как u=x4 +1,то (2 x4 +2+.

Пример 3.18. Найти производную функции y=.

Решение. Представим функцию y=  в виде суперпозиции двух функций: y = eu и u = x2. Имеем: y'x =y 'u u'x = (eu)'u(x2)'x = eu ×2x. Подставляя x2 вместо u, получим y=2x.

Пример 3.19. Найти производную функции y=ln sin x.

Решение. Обозначим u=sin x, тогда производная сложной функции y=ln u вычисляется по формуле y' = (ln u)'u(sin x)'x= .

Пример 3.20. Найти производную функции y=.

Решение. Случай сложной функции, полученной в результате нескольких суперпозиций, исчерпывается последовательным применением правила 5:

.

Пример 3.21. Вычислить производную y=ln .

Решение. Логарифмируя и используя свойства логарифмов, получим:

y=5/3ln(x2+4) +7/3ln(3x-1)-2/3ln(6x3+1)-1/3tg 5x.

Дифференцируя обе части последнего равенства, получим:

.

7.2 Предельный анализ в экономике. Эластичность функции

В экономических исследованиях для обозначения производных часто пользуются специфической терминологией. Например, если f(x) есть производственная функция, выражающая зависимость выпуска какой-либо продукции от затрат фактора x, то f '(x) называют предельным продуктом; если g(x) есть функция издержек, т. е. функция g(x) выражает зависимость общих затрат от объема продукции x, то g'(x) называют предельными издержками.

Предельный анализ в экономике - совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменении объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Большей частью плановые расчеты, основывающиеся на обычных статистических данных, ведутся в форме суммарных показателей. При этом анализ заключается главным образом в вычислении средних величин. Однако в некоторых случаях оказывается необходимым более детальное исследование с учетом предельных значений. Например, при выяснении издержек производства зерна в районе на перспективу принимают во внимание, что издержки могут быть различными в зависимости, при прочих равных условиях, от предполагаемых объемов сбора зерна, так как на вновь вовлекаемых в обработку худших землях издержки производства будут выше, чем по району в среднем.

Если зависимость между двумя показателями v и x задана аналитически: v = f(x) - то средняя величина представляет собой отношение v/x, а предельная - производную .

Нахождение производительности труда. Пусть известна функция u = u(t), выражающая количество произведенной продукции u за время работы t. Вычислим количество произведенной продукции за время Dt = t1 - t0: Du = u(t1) - u(t0) = u(t0+Dt) - u(t0). Средней производительностью труда называется отношение количества произведенной продукции к затраченному времени, т.е. z ср.= Du/Dt.

Производительностью труда рабочего z(t0) в момент t0 называется предел, к которому стремится z ср. при Dt®0: . Вычисление производительности труда, таким образом, сводится к вычислению производной: z(t0) = u'(t0).

Издержки производства K однородной продукции есть функция количества продукции x. Поэтому можно записать K = K(x). Предположим, что количество продукции увеличивается на Dх. Количеству продукции x+ Dх соответствуют издержки производства K(x + Dх). Следовательно, приращению количества продукции Dх соответствует приращение издержек производства продукции DK = K(x + Dх) - K(x).

Среднее приращение издержек производства есть DK/Dх. Это приращение издержек производства на единицу приращения количества продукции.

Предел  называется предельными издержками производства.

Если обозначить через u(x) выручку от продажи x единиц товара, то  и называется предельной выручкой.

С помощью производной можно вычислить приращение функции, соответствующее приращению аргумента. Во многих задачах удобнее вычислять процент прироста (относительное приращение) зависимой переменной, соответствующий проценту прироста независимой переменной. Это приводит нас к понятию эластичности функции (иногда ее называют относительной производной). Итак, пусть дана функция y = f(x), для которой существует производная y ¢ = f ¢(x). Эластичностью функции y = f(x) относительно переменной x называют предел

.

Его обозначают Ex (y) = x/y f ¢ (x) = .

Эластичность относительно x есть приближенный процентный прирост функции (повышение или понижение), соответствующий приращению независимой переменной на 1%. Экономисты измеряют степень чуткости, или чувствительности, потребителей к изменению цены продукции, используя концепцию ценовой эластичности. Для спроса на некоторые продукты характерна относительная чуткость потребителей к изменениям цен, небольшие изменения в цене приводят к значительным изменениям в количестве покупаемой продукции. Спрос на такие продукты принято называть относительно эластичным или просто эластичным. Что касается других продуктов, потребители относительно нечутки к изменению цен на них, то есть существенное изменение в цене ведет лишь к небольшому изменению в количестве покупок. В таких случаях спрос относительно неэластичен или просто неэластичен. Термин совершенно неэластичный спрос означает крайний случай, когда изменение цены не приводит ни к какому изменению количества спрашиваемой продукции. Примером может служить спрос больных острой формой диабета на инсулин или спрос наркоманов на героин. И наоборот, когда при самом малом снижении цены покупатели увеличивают покупки до предела своих возможностей - тогда мы говорим, что спрос является совершенно эластичным.

7.3 Экстремум функции

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) в некотором интервале, если при x1< x2 выполняется неравенство f(x1) < f (x2) (f(x1) > f(x2)).

Если дифференцируемая функция y = f(x) на отрезке [a, b] возрастает (убывает), то ее производная на этом отрезке f ¢(x) > 0 (f ¢(x) < 0).

Точка xо называется точкой локального максимума (минимума) функции f(x), если существует окрестность точки xо, для всех точек которой верно неравенство f(x) £ f(xо) (f(x) ³ f(xо)).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами.

Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f ¢(xо) = 0, либо f ¢(xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек.

Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ¢ (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет максимум, в противном случае - минимум. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет.

Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ¢ (x) в окрестности точки xо и вторую производную  в самой точке xо. Если f ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24