Реферат: Математические методы экономики

Для теоретического обоснования приведенного выше "графического способа" определения рыночного спроса сформулируем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 5.1. Пусть области определения , , функций полезности индивидуальных потребителей есть конусы с вершинами в нуле пространства товаров. Пусть, далее, каждая индивидуальная функция полезности положительно однородна и принимает на хотя бы одно положительное значение. Тогда существует такая функция , что при любых ценах решение задачи , , совпадает с суммой решений s оптимизационных задач: .

Напомним, что множество называется конусом с вершиной в нуле пространства , если оно вместе с каждой точкой содержит луч .

По существу, в теореме 5.1 сформулированы те условия, при выполнении которых существует коллективная функция полезности () и с помощью которых всех потребителей можно представить как одно лицо.

Как и в случае с потребителями, путем суммирования кривых предложения отдельных фирм, полученных в результате решения их оптимизационных задач из главы IV , можно получить понятие кривой рыночного предложения.

Общий вывод такой, что можно найти, во всяком случае, приемлемые для экономической практики способы формализации понятий рыночного спроса и рыночного предложения. Последнее дает моральное право оперировать понятиями совокупного спроса и совокупного предложения.

Представляется необходимым обратить внимание читателя на следующий момент. Совокупный спрос (совокупное предложение) не является результатом кооперирования между потребителями (производителями). Более того, кооперация вообще исключена условиями совершенной конкуренции (см. ниже). Совокупный спрос характеризует суммарную потребность общества в товарах, а совокупное предложение - суммарные возможности производителей этих товаров.

Любая функция , ставящая в соответствие каждому вектору затрат x вектор максимального выпуска, который может быть получен при этих затратах, называется производственной функцией.

Монополия.

Так как монополист является единственным производителем товара, исходя из кривой спроса, он самостоятельно определяет объем продаж и цену товара (рис. 8.1). Предположим, что в условиях совершенной конкуренции равновесие достигается в точке , а доход данной фирмы, как участника рынка совершенной конкуренции, есть (). Будучи монополистом, при том же уровне спроса эта фирма добьется данного уровня дохода при меньшем выпуске () за счет более высокой цены (). Именно в этом заключается приоритетность положения монополиста.

До какого уровня монополист будет повышать цену товара и снижать объем продаж, чтобы получить максимальную прибыль с учетом издержек на производство товара?

Кривая спроса и оценка собственных издержек являются главными ориентирами для фирмы-монополиста при принятии экономического решения. Она принимает решение относительно объема выпуска (или продажи) товара, а его цена определяется с помощью кривой спроса (см. рис. 8.1). Следовательно, в условиях монополии цена () является функцией от выпуска (), т.е. , и, располагая информацией о спросе, фирма может добиться получения максимальной прибыли.

Монополист может увеличить прибыль двумя путями: либо за счет повышения цены на товар, не изменяя при этом объема выпуска, либо за счет сокращения объема выпуска (снизив тем самым издержки на производство), не изменяя цену товара. Каково же оптимальное действие монополиста?

Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся опять к конкурентному рынку и рассмотрим долгосрочную задачу фирмы (4.5.1). Так как мы хотим узнать именно об оптимальном объеме производства, переформулируем эту задачу на языке выпуска. Обозначим доход как функцию от выпуска:

Так как издержки фирмы зависят от объема производства, они также являются функциями от выпуска:

Теперь задачу (4.5.1) можно записать так:

Условие первого порядка для максимизации прибыли есть

Следовательно, чтобы максимизировать прибыль, фирма должна достичь такого объема выпуска, при котором предельный доход равен предельным издержкам. Далее, учитывая тот факт, что , получаем , т.е. равновесная цена, если она существует, должна равняться предельным издержкам:

Графическая иллюстрация этого равенства показана на рис. 8.2, где предельные издержки есть возрастающая функция от объема производства, а предельный доход (цена) - убывающая функция того же аргумента.

Вернемся к монополии и проверим, будет ли цена, максимизирующая прибыль монополиста, подчиняться закону (8.1.2)?

В монополии , поэтому

Далее без потери общности будем считать .

Вычислим предельный доход

Заметим, что и в монополии цена убывает с ростом объема продаж, потому что фирма снижает цену, чтобы продать больше продукции. Поэтому и из (8.1.4) следует

Как видим, в случае монополии предельный доход меньше цены товара.

Проанализируем теперь издержки монополиста. Как и на конкурентном рынке, цены затрат являются функциями от объема затрат, т.е. , . Поэтому издержки на факторы производства выражаются как

Будем предполагать, что для всех .

Вычислим предельные издержки:

По рыночным законам фирма может покупать большее количество данного фактора производства, только предложив более высокую плату. Поэтому . Тогда из (8.1.6) следует

Таким образом, в случае монополии предельные издержки на факторы производства оказываются больше их цен.

Подставляя (8.1.3) и (8.1.5) в (8.1.1), получим оптимизационную задачу монополиста:

Подчеркнем еще раз, в отличие от задачи (8.1.1) фирмы на конкурентном рынке, в условиях задачи монополиста (8.1.7) все цены зависят от объемов продуктов.

Максимум функции прибыли P в задаче (8.1.7) вычисляется по m+1 переменной . Поэтому составим функцию Лагранжа

где - множитель Лагранжа. Выпишем необходимые условия оптимальности точки :

Отсюда имеем, в частности,

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23