Дипломная работа: Многомерная геометрия

Сохраняя обозначения предыдущего подпункта, сформулируем достаточное условие пересечения двух плоскостей.

Теорема 4. Если в Un даны плоскости Пk и Пl, такие, что , где m – размерность пересечения Lm направляющих подпространств Lk и Ll, то Пk и Пl пересекаются.

Доказательство. Исключая тривиальный случай, когда какая-нибудь из данных плоскостей совпадает со всем пространством, имеет

В расположении двух данных плоскостей могут быть лишь три возможности:

либо Пk параллельна Пl;

либо плоскости Пk и Пl скрещиваются;

либо они пересекаются.

Если Пk параллельна Пl, то для размерности m пересечения соответствующих им пространств Lk и Ll имеем m = min (k, l). Теорема доказана.

2. Размерность многообразия k-плоскостей

Найдём размерность Рn,k, многообразия всех k-плоскостей

n-пространства.

Прежде всего заметим, что число параметров, от которых зависят k+1 точек M0, M1, …, Mk n – пространства с линейно независимыми векторами , через которые проходит единственная k-плоскость, равно числу координат, этих точек, т. е. (k +1)n. Далее заметим, что число параметров, от которых зависят те же точки на k-плоскости, равно числу параметров  этих точек, т. е. (k +1)k. Так как в n-пространстве, число параметров, от которых зависят точки  равно сумме числа Рn,k и числа параметров, от которых зависят точки  на k-плоскости, то получим, что

, т. е.

. (6. 7)

 § 7. K-параллелепипеды в пространстве

1. Полуплоскости и параллелепипеды

Если в уравнении

 (7. 1)

k-плоскости придавать одному из параметров tb только неотрицательные значения , а остальным параметрам – произвольные действительные значения, мы получим k-полуплоскость, ограничиваемую (k-1)-плоскостью,

 (7. 2)

Если в том же уравнении (7. 1) придать всем параметрам  только значения , мы получим k-параллелепипед с вершинами

;

2-параллелепипеды называются параллелограммами.

Условимся называть k-параллелепипед с вершинами А0, А1, А2, …, А12…k параллелепипедом А0 А1 А2 … А12…k.

На рисунке 22 изображён 3-параллелепипед

А0 А1 А2 А3 А12 А13 А123

и параллелограмм А0 А1 А2 А12.

  а) б)

Рис. 22

2. Грани параллелепипеда

Придавая в уравнении (7. 1) значения  всем параметрам  при , а параметру  - значения  или , мы получим (k - 1)-параллелепипеды, являющиеся гранями k-параллелепипеда. Грани этих (k- 1)-параллелепипедов называются (k - 2)-гранями k-параллелепипеда, грани этих (k–3)-гранями k-параллелепипеда и т. д. Таким образом, k-параллелепипед обладает р – гранями, где р – пробегает значения от 0 до k – 1, 0-грани параллелепипеда совпадают с его вершинами, 1-грани называются рёбрами (при m= 2 - сторонами). На рисунке 22 (а) стороны параллелограмма – четыре отрезка А0 А1, А0 А2, А0 А3, А0 А12, А1 А13, А2 А12, А2 А23, А3 А13, А12 А123, А13 А123, А23 А123; 2-грани - шесть параллелограммов А0 А1 А1 А12, А0 А1 А3 А13, А0 А2 А3 А23, А1 А12 А13 А123, А2 А12 А23 А123, А3 А13 А23 А123.

Число  р-граней k-параллелепипеда равно , где  - число сочетаний из k по р.

3. Объём прямоугольного параллелепипеда

Определим объём прямоугольного k-параллелепипеда, то есть такого k-параллелепипеда, у которого все векторы ра попарно перпендикулярны. Длина любого отрезка прямоугольного k – параллелепипеда называется его измерением.

Объём прямоугольного k-параллелепипеда называется его измерением.

Объём прямоугольного k-параллелепипеда только постоянным множителем отличается от произведения его измерений, т. е. функция  отличается от произведения  измерений прямоугольного параллелепипеда только постоянным множителем .

В дальнейшем будем считать этот постоянный множитель равным 1, то есть будем считать, что объём Vk прямоугольного k –параллелепипеда равен произведению его измерений.

 (7. 4)

4. Объём произвольного параллелепипеда

Сравнивая прямоугольные k-параллелепипед и (k–1)-параллелепипед с объёмами, равному данному k-параллелепипеду и одной из его граней мы получим, что объём Vk k-параллелепипеда равен произведению объёма Vk-1 одной из его (k–1)-граней на расстояние hk между этой гранью и параллельной ей (k–1)-гранью.

 (7. 5)

Если назвать выделенную (k–1)-грань k-параллелепипеда его основанием, а расстояние hk его высотой, то формула (7. 5) показывает, что объём k-параллелепипеда равен произведению объёма его основания на высоту.

Объём Vk k-параллелепипеда, определяемого уравнением , при , определяется соотношением

,

т. е. квадрат объёма этого параллелепипеда равен определителю Грамма, составленному из k векторов ра.

Утверждение очевидно при k =1, когда параллелепипед совпадает с отрезком, определяемым вектором р1, и объём этого параллелепипеда совпадает с длиной этого отрезка , т. е. .

Рассмотрим теперь k-параллелепипед и предположим, что наше утверждение справедливо для его (k – 1)-граней. Рассмотрим его (k – 1)-грань, определяемую уравнением , при  и . Тогда скалярный квадрат векторного произведения  в k-плоскости k-параллелепипеда, равный определителю Грамма, составленному из k–1 векторов  (а < k), равен объёму этой (k – 1)-грани. Так как объём Vk k-параллелепипеда равен произведению объёма Vk-1 этой (k–1)-грани на соответствующую высоту hk , то объём Vk равен

 , (7. 7)

где j - угол между вектором рk и перпендикуляром к (k–1)-грани в k-плоскости k-параллелепипеда.

5. Аффинность k-параллелепипедов

Если даны два произвольных k-параллелепипеда А0 А1… Аk… А12…k и

В0 В1… Вk… В12…k, то системы точек А0, А1, … ,Аk и В0, В1, … ,Вk определяют аффинное преобразование, переводящее первые из этих точек во вторые. Так как при аффинном преобразовании плоскости переходят в плоскости, а параллельные плоскости в параллельные плоскости, это аффинное преобразование переводит весь k- параллелепипед А0 А1… Аk… А12…k в k-параллелепипед В0 В1… Вk… В12…k. Поэтому всякие два k-параллелепипеда аффинны.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16