Дипломная работа: Многомерная геометрия

Объём сферы радиуса r, который будем обозначать Sk, выражается интегралом

,

в котором переменное изменяется от 0 до 2p, а переменные  (при i > 1) от  до  поэтому этот интеграл равен произведению k интегралов

тогда объём Sk сферы радиуса r в k-пространстве при чётном n равен:

  (9. 11)

и для n чётного:

Формулы объёма дают при k = 2 (считая 0!! = 1), 3, 4 и 5 соответственно.

,   .

Объём шара

Объём шара радиуса r, который будем обозначать Vk, выражается интегралом

 который с помощью интеграла (9. 11) для вычисления объёма сферы Sk может быть записан в виде

Поэтому объём Vk шара радиуса r в k-пространстве при чётном и нечётном n соответственно равен

 ,  (9. 12)

Формула (9. 12) дает при k = 2, 3, 4, 5 соответственно

 , , ,  (9. 13)

Глава III. Применения многомерной геометрии

§ 10. О необходимости введения многомерного пространства (на примерах задач)

В чём состоит польза многомерных пространств? Где они применяются? Зачем понадобилось расширять представления о пространстве от реального трёхмерного мира до столь далёких абстракций, которые нелегко и не сразу укладываются в сознании?

Для ответа на эти вопросы необходимо рассмотреть несколько примеров задач.

Пример 1. Сумма n чисел равна единице. Каковы должны быть эти числа, чтобы сумма их квадратов была наименьшей?

Рис. 33

Решение. Получим ответ на поставленный вопрос геометрическим путём, рассматривая сначала случай n = 2, затем n = 3, а потом обсудим ситуацию при n > 3.

Итак, пусть сначала n = 2. Иначе говоря, рассматривая числа х, у, удовлетворяющие условию х + у = 1, и требуется найти, в каком случае сумма квадратов х2 + у2 будет наименьшей. Уравнение х + у = 1 определяет на координатной плоскости прямую (рис. 33). Рассмотрим окружность S с центром в начале координат, которая касается этой прямой (точка А). Если точка М(х, у) прямой l отлична от А, то она лежит вне окружности S и поэтому | ОМ| больше радиуса r этой окружности, т. е. . Если же М = А, то сумма х2 + у2 равна r, т.е. именно для точки А эта сумма принимает наименьшее значение. Точка А имеет координаты х = у = 1/2; это и есть решение поставленной алгебраической задачи при (n = 2).

Рис. 34

Пусть n = 3. Уравнение x + y + z =1 определяет в пространстве плоскость L. Рассмотрим сферу S c центром в начале координат, касающуюся этой плоскости в некоторой точке А (рис. 34). Для любой точки , отличной от А, её расстояние от точки О больше радиуса r сферы S,  и поэтому , при М = А имеем .

Таким образом, именно для точки А сумма  принимает наименьшее значение. Точка А имеет равные координаты: x = y = z (поскольку при повороте пространства, переставляющем оси координат: , и плоскость L и сфера S переходят в себя, а поэтому их общая точка остаётся неподвижной). А так как x + y + z =1, то точка А имеет координаты x = y = z = 1/3; это и есть решение поставленной задачи (для n=3).

Рассмотрим произвольное n; рассуждения будем вести в n-мерном пространстве, точками которого являются последовательности (х1, х2, …, хn), состоящие из n действительных чисел. Уравнение  определяет в этом пространстве «плоскость» L, имеющую размерность n – 1 (гиперплоскость в n-мерном пространстве). Рассмотрим сферу S с центром в начале координат О, касающуюся гиперплоскости L в некоторой точке А. Все точки гиперплоскости L, кроме А, лежат вне сферы S, т. е. находятся от начала координат О на расстоянии, равном r. Следовательно, сумма  принимает наименьшее значение по сравнению со всеми другими точками гиперплоскости L. Заметим теперь, что все координаты точки А равны между собой:  (поскольку поворот пространства, переставляющий оси координат: , и плоскость L и сфера S переходят в себя, а поэтому их общая точка остаётся неподвижной), откуда . Итак, при  сумма квадратов  принимает наименьшее значение для .

Пример 2. На три завода З1, З2, З3 (рис. 35) нужно завести сырьё одинакового вида, которое хранится на двух складах С1, С2 в соответствии с данными, указанными в таблице.

Требуется найти наиболее выгодный вариант перевозок, т. е. вариант, для которого общее количество тонно-километров будет наименьшим.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16