Дипломная работа: Многомерная геометрия
 .
Поэтому
 
 .
Применяя формулу (4) к
объему   - грани, выразим этот объем
через объем  одной из ее  - граней и соответственную
высоту  этой  - грани. Аналогично выразим
объемы  ,  , … ,  и площадь  , вложенных друг в друга  - грани,  - грани, …, 3-грани и 2-грани
симплекса через объемы  , …,  , площадь  и длину  одного из ребер  - симплекса и
соответственные высоты  ,  , … ,  этих граней, получим что
 .
В том случае, когда k – симплекс определяется уравнением
(1), где  , произведение    …  равно объему k – параллелепипеда, определяемого
уравнением
 с векторами  при 0 , поэтому объем  k – симплекса связан с объемом  соответствующего
k – параллелепипеда соотношением
 =  . (8.6)
Так как квадрат объема  в силу (7.6 из § 7) равен
определителю Грамма, составленному из вектора  ,
из формулы (8.6) вытекает, что объем  k – симплекса, определяемого
уравнением (8.1), где   , определяется соотношением
 (8.7)
Объем   – симплексa, определяемого уравнением (8.1) при  =  , где  , равен
 =  , (8.8)
квадрат косого
произведения ( ) равен
определителю Грамма, составленному из векторов  .
3.
Аффинность
k – симплексов.
Если даны два
произвольных k – симплекса  и  , то системы их вершин
определяют аффинное преобразование, переводящее первую из этих систем вершин во
вторую.
Так как при аффинном
преобразовании плоскости переходят в плоскости, это аффинное преобразование
переводит весь k – симплекс  в k – симплекс  .
Поэтому всякие два k – симплекса
аффинны.
Относительный объем k – симплекса, определяемого
уравнением (8.1) при  =  , где  , выражается по формуле при
аффинном преобразовании с оператором  умножается
на определитель матрицы оператора  , получаем,
что при аффинном преобразовании относительные объемы всех k – симплексов умножаются на
определитель матрицы этого аффинного преобразования, т.е. если k – симплекс с относительным объемом  переходит при аффинном
преобразовании с матрицей  в k – симплекс с объемом  , то, так же как в случае k – параллелепипедов,
 =   . (8.9)
Отсюда вытекает, что
отношения объемов k – симплексов не
изменяются при аффинных преобразованиях.
Правильный k – симплекс
Определение правильных
многоугольников и многогранников позволяет определить правильный k – симплекс.
Прежде всего построим
правильный k – симплекс. Правильный k – симплекс при  = 2 – равносторонний
треугольник. Равносторонний треугольник  с
центром в начале координат и со стороной  на
прямой  имеет вершины в точках с
координатами  ,  и  .
Рис. 29
Для построения
правильного k – симплекса  с центром в начале системы
прямоугольных координат и с гранью  на
плоскости  предположим, что мы
построили аналитичный правильный  -
симплекс.
Так как центр О k – симплекса делит отрезок прямой  между точкой  и плоскостью  в отношении  : 1, а прямая  совпадает с  -ой координатной осью,
вершина  имеет координаты (0, 0, 0,
… );  -е координаты вершин  равны – 1, а первые  -1 координаты этих вершин
можно получить из координат вершин ( -1) -
симплекса  умножением их на такой
множитель  , чтобы все расстояния  ,  , …,  = =
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 |
