Дипломная работа: Многомерная геометрия

Рис. 26

Система неравенств (7.14) показывает, пересечением каких полупространств образован симплекс .

Выше говорилось, что многогранник можно представить в виде куска пространства, «высеченного» несколькими гиперплоскостями.

Отметим попутно, что слово «симплекс» (simplex) в переводе с латинского означает «простой».

В следующем параграфе данной главы состоится знакомство с -симплексами в пространстве.

§8. K-симплексы в пространстве

1.  Симплексы

Если заданы  точек  не лежащих в одной () –плоскости, то точки, определяемые радиус-векторами

, (8.1)

где индекс  пробегает значения от 0 до , а параметры  связаны условием

 (8.2)

образуют - симплекс с вершинами , который будем называть - симплексом .На рисунке 23 а, б, и в изображен 2 - симплекс (треугольник)  3 – симплекс (тетраэдр)  и 4 – симплекс .

Рис. 27

Грани симплекса.

Если в уравнении (8.1) один из параметров  равен 0, получаем  - симплекс, называемый гранью - симплекса. Грани этих  - симплексов называются - гранями - симплекса, грани этих -симплексов называются - гранями - симплекса и т.д. Таким образом, - симплекс обладает - гранями, где  пробегает значения от 0 до ; 0 – грани - симплекса совпадают с его вершинами, 1-грани называются ребрами (при  - сторонами). На рисунке 3, а стороны треугольника – 3 отрезка ; на рисунке 3, б ребра тетраэдра - 6 отрезков , 2–грани-4треугольника А0А1А2, ; на рисунке 3, в - ребра 4 – симплекса - 10 отрезков        , , , 2 – грани - 10 треугольников   , , , , , , , 3-грани - 5 тетраэдров , , , , .

Если представим векторы  в виде , то формулу (1) можно переписать в виде , где параметры  ограничены условиями 0  , .

Так как любая система  вершин - симплекса определяет - грань симплекса, число - граней симплекса равно числу сочетаний из  по , т.е. =. (8.3)

2.  Объем симплекса.

Прежде всего покажем, что объем  произвольного - симплекса выражается через объем  одной из его  - граней и расстояния  от вершины, лежащей против этой грани, до плоскости этой грани по формуле

. (8.4)

Если будем называть выделенную  -грань - симплекса его основанием, а расстояние  - его высотой, то формула (8.4) показывает, что объем - симплекса равен  произведение его основания на высоту. Пусть основание k – симплекса  (на рисунке 28 изображается  при )

Проведем плоскость, параллельную плоскости  - грани  на расстоянии  от нее. Это плоскость высечет из нашего k – симплекса -симплекс  и отсечет от него k – симплекс , Обозначим -симплекса  через , то формулу для определения объема k – симплекса можно записать в виде

. (8.5)

Так как k – симплекса  может быть получен из k – симплекса  гомотетией с центром в вершине  и с коэффициентом  получается из - грани  той же гомотетией. Так как матрица гомотетии, отображающей  - грань  на  - грань  является матрицей -20 порядка вида , определить этой матрицы равен  и объем  может быть записан в виде

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16