Дипломная работа: Многомерная геометрия
Часть параллелепипеда (0    1,  ), расположенная в
какой-нибудь из гиперплоскостей  = 0 или
 = 1, сама является ( - 1)-мерным
параллелепипедом и называется ( -
1)-мерной гранью параллелепипеда.
Пример. В трехмерном евклидовом пространстве с заданной декартовой
прямоугольной системой координат ( )
рассмотрим прямоугольные параллелепипеды, ребра которых параллельны
координатным осям. Пусть ( ) –
координаты центра параллелепипеда,  – длины
его ребер, параллельных осям  соответственно.
Обозначим через  множество тех
параллелепипедов указанного вида, центры которых лежат в кубе  ,  ,  , длины ребер не превышают  . Каждому параллелепипеду
из множества  можно поставить в
соответствие точку шестимерного аффинного пространства  с координатами ( ,  ). Тогда само множество  можно рассматривать как
шестимерный параллелепипед.
     ,      ,      ,
     ,      ,      .
Затем, что геометрические
фигуры одного пространства часто бывает удобно рассматривать как точки другого
пространства.
Определение. Множество точек в аффинном
пространстве  называется ограниченным,
если координаты всех точек этого множества удовлетворяют неравенству  ( > 0 – некоторое число).
Это определение не
зависит от выбора аффинной системы координат. Множество ограниченно в том и
только в том случае, если оно содержится в некотором параллелепипеде.
Определение. Выпуклой оболочкой множества  точек в аффинном
пространстве  называется такое выпуклое
множество  , которое содержится в
любом выпуклом множестве, содержащем  .
Пример. 1) Выпуклой оболочкой двух точек  , является отрезок    .
2) Выпуклая оболочка
любого конечного числа точек является ограниченным выпуклым многогранником, а
конечная система точек – его вершинами.
Пусть в аффинном
пространстве  даны точки  с радиус-векторами  соответственно.
Определение. Выпуклая оболочка системы точек  , находящихся в общем
положении, называется  -мерным
симплексом с вершинами  .
Симплекс с вершинами  при  . При этом числа  называются
барицентрическими координатами точки симплекса, имеющей радиус-вектор  .
Частные случаи:
нульмерный симплекс –
одна точка;
одномерный симплекс - отрезок;
двумерный симплекс –
треугольник;
трехмерный симплекс –
треугольная пирамида.
Точка симплекса, в
которой все барицентрические координаты равны между собой  , называется центром
симплекса.
Пусть  - симплекс с вершинами  ; и пусть  - какой-нибудь из его
вершин.  -мерный симплекс, который
является выпуклой оболочкой вершин  называется
 -мерной гранью симплекса  . Одномерные грани, то есть
отрезки, соединяющие вершины, называются ребрами симплекса.
Две грани размерности  и  -  называются
противоположными гранями симплекса  , если
они не имеют общих вершин.
В качестве упражнений
докажем, что симплекс является выпуклой оболочкой пары противоположных граней,
и что противоположные грани симплекса всегда располагаются в скрещивающихся
плоскостях и что отрезок, соединяющий центры противоположных граней, проходит
через центр симплекса.
Докажем, что  -мерный симплекс в  -мерном пространстве
представляет собой пересечение замкнутых подпространств в числе  .
Пусть  - вершины симплекса  . Примем  за начало координат, базис
выберем следующим образом:
 ,  ,
…,  .
Тогда соотношения при  в координатах примут вид
 (7.13)
откуда следует, что
 (7.14)
С другой стороны, из
(7.14) вытекает (7.13),если положить  для  ,  . Таким образом, системы
(7.13) и (7.14) эквивалентны и задают один и тот же симплекс  . (при  =3).
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 |
