Дипломная работа: Многомерная геометрия

Следовательно, . Таким образом, каждой упорядоченной паре точек М, N плоскости Пk, поставим в соответствие вектор MN из k-мерного пространства Lk. При этом соблюдаются для Пk аксиомы, вытекающие из определения k-мерной плоскости и для всего аффинного пространства U. Теорема доказана.

Замечание. Если плоскость проходит через начало аффинной системы координат в направлении подпространства Lk, то совокупность радиус-векторов её точек образует подпространство, по определению совпадающее с подпространством Lk.

Пусть в аффинном пространстве U даны точки А0, А1,…, Аk (в числе k + 1). Эти точки находятся в общем положении, если они не принадлежат ни одной (k –1)-мерной плоскости .

Проверим, что точки А0, А1,…, Аk находятся в общем положении тогда и только тогда, когда векторы А0А1,…, А0Аk линейно независимы (рис. 13), причём безразлично, какую из точек брать в качестве А0 (то есть за начало векторов, идущих из неё в другие точки).

Рис. 13

Из сказанного в этом пункте и из определения плоскости следует, что через систему точек А0, А1,…, Аk, находящихся в общем положении, проходит k-мерная плоскость и притом только одна.

Предположим, что в пространстве Un зафиксирована какая-нибудь аффинная система координат с началом О и базисом е1, е2, …, еn. Рассмотрим плоскость Пk, проходящую через точку А в направлении подпространства Lk.

Будем считать, что точка А имеет координаты р1, р2, …, рn и что Lk задаётся как независимая система векторов q1, q2, …, qk. Тогда радиус-вектор ОМ текущей точки плоскости можно записать в виде

 (6. 1)

где параметры τ1, τ2, …, τk независимо друг от друга пробегают всевозможные числовые значения, а вектор  (рис. 14)

Рис. 14

Разложим вектор q1, q2, …, qk по базису е1, е2, …, еn:

Координаты текущей точки М обозначим, как обычно, через (x1, x2, …, xn) и запишем векторное равенство в координатах. В результате получим n числовых равенств.

 (6. 2)

Эти равенства называются параметрическими уравнениями плоскости Пk.

Пример. Пространство, изучаемое в стереометрии, является трёхмерным аффинным пространством. В нём одномерные и двумерные плоскости совпадают соответственно с прямыми линиями и плоскостями, понимаемыми в элементарно-геометрическом смысле. В отличие от пространства, изучаемого в элементарной геометрии, в аффинном пространстве не определены метрические понятия: расстояния между точками и длины линий, площади и объёмы фигур, углы и перпендикулярность. При исследовании фигур в аффинном пространстве изучаются лишь те геометрические свойства, которые не зависят от метрических понятий.

2. Уравнения k-плоскости по k+1 точкам

Если заданы k+1 точек А0(х0), А1(х1), …, Аn(хn) и векторы А0Аа = ха – х0 независимы, то эти точки определяют единственную k – плоскость, проходящую через них: в этом случае за направляющие векторы этой плоскости можно принять векторы А0Аа и векторное уравнение k-плоскости можно записать в виде

 (6. 3)

Будем называть k-плоскость, определяемую точками А0(х0), А1(х1), …, Аn(хn), k-плоскостью А0, А1, …, Аk.

Случай k = n-1

В дальнейшем будем часто иметь дело с k-поверхностями и k-плоскостями при k = n – 1. Говоря, «поверхность n-пространства» и «плоскость n-пространства», но иметь в виду (n – 1)-поверхность и (n – 1)-плоскость этого пространства. Часто поверхность и плоскость называется соответственно гиперповерхностью и гиперплоскостью.

Поверхность можно задать одним координатным уравнением

 (6. 4)

если координаты xi, удовлетворяющие этому уравнению, можно представить как функции n – 1 параметров t1, t2, …, tn-1, то получим

F(x) = 0. (6. 5)

3. Взаимное расположение плоскостей

3. 1 Пересекающиеся плоскости

Во всём этом пункте размерности плоскостей и подпространств обозначены индексами снизу. Пусть две плоскости Пk и Пl пересекаются, то их пересечением является некоторая плоскость Пm.

 k = l = 2, m = 1 Рис. 15

Замечание 1. Не исключена возможность, что Пm состоит из одной точки (m = 0). Это видно на примере двух пересекающихся прямых или прямой и плоскости (рис. 16).

Рис. 16

В общем случае по одной точке могут пересекаться две плоскости, сумма разностей которых не превышает размерности пространства, например, двумерные плоскости в четырёхмерном пространстве.

Замечание 2. Не исключено и другое, когда одна из двух плоскостей целиком принадлежит другой. Например, , тогда  (рис. 17)

k = m = 1, l = 2

Рис. 17

2) Если плоскости Пk и Пl пересекаются по плоскости Пm, то существует единственная плоскость Пr, размерности r = k + l – m, содержащая Пk и Пl, причём ни в какой плоскости меньшей размерности Пk и Пl не могут одновременно поместиться. Направляющее подпространство Lr плоскости Пr является суммой направляющих подпространств Lk и Ll. Эта сумма является прямой суммой тогда и только тогда, когда Пk и Пl пересекаются по одной точке (m = 0, см. рис. 18).

Рис. 18

В частном случае, когда n = k + l – m, роль плоскости Пr выполняет всё пространство Un (при r = n = 3 см. рис. 15).

3) Если пересекающиеся плоскости Пk и Пl содержатся в какой-нибудь плоскости Пr, то размерность их пересечения . В частности,  для любых двух непересекающихся плоскостей из Un.

4) Если плоскости Пk и Пl проходят через точку А в направлении подпространств Lk и Ll соответственно и если Lk содержится в Ll, то плоскость Пk содержится в плоскости Пl. Если при этом k = l, то Пk совпадает с Пl (также и Lk совпадает с Ll).

Параллельные плоскости

Пусть теперь плоскость Пk определяется точкой А и подпространством Lk, а плоскость Пl – точкой В и подпространством Ll. Будем считать, что .

Определение: Плоскость Пk параллельна плоскости Пl, если .

В этом случае плоскость Пl параллельна плоскости Пk.

Замечание 1. Согласно этому определению включение  является частным случаем параллельности.

Замечание 2. Если Пk параллельна Пl, причём k = l, то Lk совпадает с Ll.

Замечание 3. Убедимся, что при n = 3 частные случаи k = l = 1,

k = l = 2 и k =1, l = 2 согласуются с понятием параллельности прямых и плоскостей, известным из элементарной геометрии (рис. 19)

 а) б) в)

Рис. 19

Пусть в произвольной аффинной системе координат две плоскости П и Пl одинаковой размерности заданы системами линейных уравнений. Пользуясь определением параллельности, нетрудно установить следующее утверждение.

Утверждение. Для того, чтобы П и П’ были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы соответствующие однородные системы уравнений были эквивалентны.

В частности, две гиперплоскости параллельны тогда и только тогда, когда в одних и тех же координатах они задаются уравнениями

 и (6. 6)

 (6. 7)

с пропорциональными коэффициентами при переменных:

.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16