Курсовая работа: Діафантові рівняння
Якщо
ж  ,
то 𝑥
довільне, 𝑎
𝑦 .
І так, при  ми
маємо, крім тривіального розв'язку  ,
де 𝛼
– будь яке натуральне число або нуль, лише ще один розв'язок:
При
 .
Очевидно, що непарних значеннях z дане рівняння не має розв’язків , при парних
значеннях z рівняння зводиться до вигляду:
Отже,
рівняння має тривіальний розв'язок  де
𝛼
– будь-яке натуральне число, і, крім того, ще має тільки три розв’язки:
Приклад
8.
Розв’язати
в натуральних числах рівняння
Розв'язок.
Перепишемо
дане рівняння у вигляді:
або
Оскільки
дільниками числа 7 є лише числа  то
шукані числа 𝑥
та 𝑦
треба шукати серед розв’язків наступних чотирьох систем:
Перша
система має єдиний розв'язок в натуральних числах  третя
система має також єдиний розв'язок в натуральних числах  Друга
та четверта системи не мають розв’язків в натуральних числах.Отже, дане
рівняння має рівно два розв’язки в натуральних числах:  .
Приклад
9.
Розв’язати
в цілих числах рівняння:
Розв'язок.
Ні
одне із невідомих не може бути цілим від’ємним числом, так як рівності
неможливі
при натуральних 𝑥,
𝑦,
𝑚,
𝑛.
Легко
перевірити, що  .
Отже, 𝑥,
𝑦
– натуральні. Із умови випливає:
або
або
Число
 –
парне, якщо 
Якщо
 ,
то  ,
а тому із умови маємо
тобто,
Таким
чином,  -
розв'язок даного рівняння.
Якщо
ж  повинно
містити парну кількість доданків, а тому 𝑥 – парне число; нехай  .
Тоді
або
 ,
або
 .
Якщо
𝑧
– непарне число, то  -
непарне число, що можливо лише при  тобто
 .
Тоді
з умови маємо
тому
 -
другий розв'язок даного рівняння.
Якщо
ж 𝑧
– парне число, тобто  ,
то  ,
а тому дане рівняння перепишемо у вигляді:
або  ;
тому
останнє
рівняння не має розв’язків, так як  ділиться
на 5, а  не
ділиться на 5.
Відповідь:
(1, 1), (2, 3).
Приклад
10.
Розв’язати
в натуральних числах рівняння:
Розв'язок.
Перепишемо
рівняння у такому вигляді:
 (1)
Якщо
 то
 ,
а тому  ,
тобто  ;
відповідно, при  має
місце нерівність
 (2)
Якщо
 ,
то  ,
а тому  ;
значить, при  має
місце нерівність
 (3)
Об’єднуючи
нерівності (2) і(3), отримуємо, що при  ліва
частина рівняння (1) додатна і тому відмінна від нуля.
Отже,
при існуванні цілих додатних чисел даного рівняння 𝑥
має дорівнювати 1 або 2, а 𝑦 = 1. Підстановкою
впевнюємось, що лише 𝑥 = 2, 𝑦
= 1 є розв’язком даного рівняння в натуральних числах.
Відповідь:
(2, 1).
Приклад
11.
Розв’язати
в цілих додатних числах систему рівнянь:
Розв'язок.
Додавши
два рівняння системи, отримаємо
Звідки
 (1)
Віднімаючи
друге рівняння системи від першого, отримаємо
звідки
 (2)
Помноживши
дві частини рівняння (2) на 2 і віднімаючи потім нове рівняння від (1),
отримаємо
 (3)
Таким
чином, із (2) та (3) випливає:
 .
Оскільки
 ,
можливі лише два випадки:
а)
Відповідь:
(4, 3, 1), (8, 1, 2).
Приклад
12.
Показати,
що система рівнянь
має
єдиний розв'язок 
Розв'язок.
Так,
як  ,
то перше рівняння системи можна переписати у вигляді  .
Оскільки
(в означенням)  ,
поділивши дві частини рівняння  на
добуток  ,
отримаємо рівносильне йому рівняння
Оскільки
є цілим числом,
то і сума  повинна
бути цілим числом. Останнє можливо лише в п’яти випадках:
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
