Курсовая работа: Діафантові рівняння
Задача3.
Вміння
розв’язувати діофантові рівняння дає можливість виконати наступний математичний
фокус.
Якщо
помножити дату свого дня народження на 12, а номер місяця на 31 і знайти суму,
то за такою сумою можна визначити дату народження.
Якщо,
наприклад, задумана дата – 9 лютого, то наступні дії будуть такими:
За
останнім числом 170 потрібно визначити задуману дату.
Задача
зводиться до розв'язку рівняння з двома невідомими
у цілих,
додатних числах, причому число місяця 𝑥 не більше 31, а номер
місяця 𝑦
не більше 12.
Знаючи,
що  і ,
знаходимо межі для 
Отже
 ,
𝑥=9,
𝑦=2.
Таким
чином, дата народження 9-те число другого місяця, тобто 9 лютого.
Задача4.
Над
двома цілими додатними числами були виконані наступні дії:
1.
Їх додали;
2.
Відняли від більшого менше;
3.
Перемножили;
4.
Поділили більше на менше.
Отримані
результати додали і в результаті вийшло 243. Знайти ці числа.
Розв'язок.
Якщо
більше число 𝑥,
а менше число 𝑦,
то
Якщо
рівняння помножити на 𝑦, а потім розкрити дужки і звести
подібні доданки, то отримаємо:
Але
 Тому
Щоб
𝑥
було цілим числом, знаменник  повинен
бути одним із дільників числа 243 (тому що 𝑦
не може мати спільні множники із 𝑦+1). Знаючи, що 243= ,
можна зробити висновок, що 243 ділиться тільки на наступні числа, які є точними
квадратами: 1,  ,
 .
І так,  повинно
дорівнювати 1,  або
 ,
звідки знаходимо 𝑦
(додатне), що дорівнює 8 або 2.
Тоді
𝑥
дорівнює
Тому
шуканими числами будуть: 24 та 8 або 54 та 2.
Задача5.
Числа
46 та 96 мають цікаву властивість: їх добуток не міняється, якщо поміняти їх
цифри місцями, тобто
Потрібно
встановити, чи існують ще такі пари двозначних чисел з такою ж властивістю. Як
знайти ці всі числа?
Розв'язок.
Позначимо
цифри шуканих чисел через 𝑥 і 𝑦,
𝑧
і 𝑡,
отримаємо рівняння:
Розкривши
дужки та звівши подібні доданки отримуємо рівняння:
де
𝑥,
𝑦,
𝑧,
𝑡
– цілі числа, менші 10. Для того щоб знайти розв’язки складаємо із 9 цифр всі
пари з рівними добутками:
Всіх
рівностей 9. Із кожної можна скласти одну або дві пари шуканих чисел.
Наприклад, із рівності  саємо
один розв'язок:
Із
рівності  знаходимо
два розв’язки:
Аналогічно
знаходимо наступні 14 розв’язків:
§2.
Знаходження всіх цілих розв’язків діофантових рівнянь вищих порядків
Приклад
1.
Розв’язати
в цілих числах рівняння
 .
Розв'язок.
Розкладемо
дане рівняння на множники таким чином:
оскільки
розв’язками даного рівняння можуть бути лише цілі числа, то числа  та
 також
мають бути цілими. З останньої рівності бачимо, що добуток цих чисел дорівнює
3, тому можливі випадки:
Отже,
для знаходження всіх цілих розв’язків даного рівняння треба розв’язати наступні
системи рівнянь, тобто розглянути всі можливі випадки , коли добуток чисел рівний
трьом.
Відповідь:
(0, 0), (1,  ),
( ),
( ).
Приклад
2.
Розв’язати
в цілих числах рівняння
 .
Розв'язок.
Аналогічно
до прикладу 1 розкладемо наше рівняння на множники і за таким же принципом
розв’яжемо його.
Знаючи,
що числа  ,
 цілі
і в добутку дають  ,
очевидно, що вони можуть набувати наступних значень:
Отже
маємо такі системи рівнянь:
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
