Курсовая работа: Діафантові рівняння
Відповідь:
 .
Приклад
3.
Розв’язати
в цілих числах рівняння:
Розв'язок.
Перепишемо
наше рівняння вигляді:
Тепер
розв’яжемо дане рівняння, як квадратне відносно 𝑥:
Оскільки
 ,
маємо нерівність
Дискримінант
набуватиме від’ємних значень при  ,
тому 𝑦
належить проміжку .
Враховуючи те, що 𝑦 є числом цілим, то він може набувати
таких значень:
 .
3наючи
𝑦,
легко можемо знайти 𝑥:
при
𝑦=0,
 ,
 .
при
𝑦=1,
 0.
𝑥=0,
𝑥=2.
при
𝑦=2,
𝑥=1,
𝑥=2.
Відповідь:
(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 2), (2, 1), (2, 2).
Приклад
4.
Знайти
всі розв’язки рівняння в цілих числах:
Розв'язок.
Нехай
 ,
де 𝑥,
𝑦,
𝑧
– цілі числа. Тоді число 𝑥 парне. Після заміни  отримаємо
рівняння
Скоротимо на 2:
Очевидно,
що 𝑦
парне число. Після заміни  отримаємо
рівняння:
Знову
скоротимо на 2:
З
останнього рівняння бачимо, що 𝑧 парне число. Після
заміни  ,
отримаємо рівняння:
Отримали
рівняння, яке має такий же вигляд як і початкове рівняння. Тому знову за таким
же алгоритмом можемо довести, що  парні,
і так далі. Але це можливо тільки в тому випадку, коли  .
Отже,
в цілих числах рівняння має єдиний розв'язок  .
Приклад
5.
Знайти
всі розв’язки рівняння  в
раціональних числах.
Розв'язок.
Очевидним
є розв'язок  ,
тому достатньо розглянути випадок, коли  (випадок
 розглядується
аналогічно).
Нехай
 ,
де  –
раціональне число. Тоді
тому
𝑘𝑦= ,
а значить 
Нехай
 –
нескоротний дріб. Тоді
 та
 .
Числа
𝑝
і 𝑝+𝑞
взаємно прості, тому число 𝑦 може бути раціональним
тільки тому випадку, коли 𝑝= і
𝑝+𝑞= для
деяких натуральних 𝑎 та 𝑏.
Припустимо, що  Тоді
Приходимо,
до суперечності, так, як між числами  та
 не
може знаходитись число  .
Тому 𝑞=1.
Для будь-якого натурального 𝑝 числа
 та
 раціональні
і являються розв’язками рівняння  .
Ці числа будуть цілими лише при  .
В цьому випадку 
Приклад
6.
Розв’язати
в цілих числах рівняння
 .
Розв'язок.
Перепишемо
дане рівняння у вигляді :
Або
 ,
Звідки
Таким
чином дане рівняння розпадається на два :
Або
 (1)
 (2)
Так
як  ,
то в (1) невідомий корінь 𝑥 може набувати цілі
значення 0, 1, 4, 9, 16, а в (2) – лише цілі значення 0, 1, 4, 9. Відповідні їм
значення 𝑦
такі: 64, 36, 16, 4, 0; 36, 16, 4, 0. Отже дане рівняння має 9 розв’язків в
цілих числах.
Відповідь:
Приклад
7.
Розв’язати
в цілих числах рівняння
Розв'язок.
Очевидно,
що 𝑥
та 𝑧
не можуть бути від’ємними числами, так як при 
а
тому  має
вигляд  що
можливо лише при парних значеннях 𝑦. Але з умови випливає,
що 𝑦
не може бути парним числом, якщо  .
Якщо
 ,
то рівняння має вигляд
звідки
Нехай
 Маємо
Із
цього рівняння випливає, що
 або
 ,
де 𝑡
– натуральне число.
Оскільки
 і
оскільки 𝑦
– непарне число, то 𝑧 – парне число або  .
Нехай
 Тоді
 ,
або  ,
звідки
 ,
 .
Тому  або
 тобто ,
звідки  і
тому 
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
