Курсовая работа: Діафантові рівняння
Аналогічно
до рівняння (6) можна розв’язати рівняння
 .
(10)
Теореми
доведені для рівняння (6) справедливі і для рівняння (10), але замість умови
парності 𝑘𝑛
, треба поставити умову 𝑘𝑛 не ділиться на 2.
Таким чином, при парних значеннях 𝑘 діофантове рівняння
(10) не має розв’язків.
2.3
Невизначене рівняння третього степеня
Сума
кубів трьох цілих чисел може бути кубом четвертого числа. Наприклад, 
Це
означає, що куб ребро якого дорівнює 6 см, рівновеликий сумі трьох кубів, ребра
яких дорівнюють 3см, 4см, 5см.
Спробуємо
знайти таке ж відношення, тобто поставимо задачу: знайти розв’язки рівняння  .
Зручніше позначити невідоме 𝑢 через  .
Тоді рівняння буде мати більш простий вигляд
 .
Розглянемо
прийом, що дозволяє знайти безліч розв’язків цього рівняння в цілих (додатних
та від’ємних)числах. Нехай 𝑎, 𝑏,
𝑐,
𝑑
та 𝛼,
𝛽,
𝛾,
𝛿
– дві четвірки чисел, що задовольняють рівняння. Додамо до чисел першої
четвірки числа другої четвірки, помноженої на деяке число 𝑘,
і спробуємо підібрати число 𝑘 так, щоб отримані
числа
також
задовольняють наше рівняння. Інакше кажучи, підберемо 𝑘
таким чином, щоб виконувалась рівність
 .
Розкривши
дужки і знаючи, що 𝑎, 𝑏, 𝑐,
𝑑
та 𝛼,
𝛽,
𝛾,
𝛿
задовольняють рівняння, тобто мають місце рівності
 ,
 ,
ми
отримаємо:
Або
Добуто може бути
нулем тоді і тільки тоді, коли є нулем принаймні один із множників. Прирівнявши
кожен із множників до нуля, отримуємо два значення для 𝑘.
Перше значення, 𝑘=0,
нас не цікавить, бо в цьому разі отримуємо числа 𝑎,
𝑏,
𝑐,
𝑑,
які задовольняють наше рівняння. Тому візьмемо інше значення для 𝑘:
Отже,
знаючи дві четвірки чисел, які задовольняють початкове рівняння, можна знайти
нову четвірку: для цього треба до чисел першої четвірки додати числа другої
четвірки, помножені на 𝑘, де 𝑘
має вище вказане значення.
Для
того щоб застосувати цей прийом, треба знати дві четвірки, що задовольняють
початкове рівняння. Одну таку четвірку ми вже знаємо – (3, 4, 5,  ).
За другу четвірку можна взяти числа  ,
які очевидно, що задовольняють початкове рівняння. Інакше кажучи, покладемо:
Тоді
для 𝑘
ми отримаємо наступне значення:
а
числа
будуть
відповідно дорівнювати
Очевидно,
що останні чотири вирази задовольняють початкове рівняння
 .
Оскільки
всі ці вирази мають однаковий знаменник, то його можна відкинути. Отже при наше
рівняння задовольняють (при будь яких 𝑟 та 𝑠
) наступні числа:
В
цьому можна впевнитись і безпосередньо, піднісши ці вирази до кубу і додавши
їх. Надаючи 𝑟
та 𝑠
різні цілі значення, можемо отримати цілий ряд цілочисельних розв’язків нашого
рівняння. Якщо при цьому отримані числа будуть мати спільний множник, то на
нього ці числа можна поділити. Наприклад, при 𝑟=1,
𝑠=1
отримуємо для 𝑥,
𝑦,
𝑧,
𝑡
наступні значення: 36, 6, 48,  ,
або після скорочення на 6, значення 6, 1, 8,  .
Таким чином,
 .
2.4
Теорема Лежандра
Розглянемо
невизначене рівняння  (11).
Вперше знайшов розв’язки рівняння (11) Лежандр, довівши наступну теорему:
Теорема
8.
Якщо
𝑎,
𝑏
і 𝑐
– попарно взаємно прості додатні цілі числа, вільні від квадратів, то
невизначене рівняння
Має
нетривіальні розв’язки в цілих числах 𝑥,
𝑦
і 𝑧,
тоді і тільки тоді, коли мають розв’язки конгруенції
 (12)
Доведення.
Необхідність
умов (12) очевидна. Доведемо їх достатність.
Нехай
𝑝
– довільний непарний простий дільник числа 𝑐.
Тоді із (12) випливає, що конгруенція  маж
нетривіальний розв'язок, наприклад,  .
В такому випадку форма  розкладається
по модулю 𝑝
на лінійні множники:
 .
Такий
же розклад правильний для форми  ,
тобто має місце рівність
 ,
(13)
де
 -
цілочисельні лінійні форми. Аналогічні рівності мають місці і для непарних
простих дільників 𝑝 коефіцієнтів 𝑎
і 𝑏,
а також 𝑝
= 2, так, як
 .
Знайдемо
тепер такі лінійні форми  ,
щоб виконувались рівності
Для
всіх простих дільників 𝑝 коефіцієнтів 𝑎,
𝑏
і 𝑐.
Тоді із рівності (13) отримаємо
 ,
(14)
Будемо
надавати змінним  цілі
значення, які задовольняють умови
 (15)
Якщо
виключити із розгляду тривіальний випадок  (для
нього твердження теореми очевидне), то із того, що числа 𝑎,
𝑏
і 𝑐
є взаємно простими, випливає що не всі числа  ,
 , будуть
цілими. Значить, число наборів (𝑥, 𝑦,
𝑧),
що задовольняють умови (15), строго більше, ніж   .
Розглянемо значення, які приймає лінійна форма  при
цих значеннях змінних. Так, як число наборів (𝑥,
𝑦,
𝑧)
з умовою (15) більше числа лишків по модулю 𝑎𝑏𝑐,
то для двох різних наборів ( ,
 ,
 )
і ( ,
 ,
 )
маємо
𝑙( ,
 ,
 )
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
