Курсовая работа: Діафантові рівняння
Тоді
тобто
2)
Нехай тепер  .
Тоді ліва частина рівняння (2) при будь-яких цілих значеннях  ділиться
на 𝑑,
а права частина на 𝑑 не ділиться, так, що рівність (2) при
цілих значеннях  неможлива.
3)
Якщо  -
набір чисел, які задовольняють рівняння (2), то, наприклад, всі набори  при
 також
задовольняють дане рівняння і, таким чином, у нас або взагалі не буде
розв’язків , або їх буде безліч.
Якщо
хоча б одна пара коефіцієнтів взаємно прості числа, то 𝑑
= 1, і рівняння (2) має нескінченну кількість розв’язків.
Приклад.
1.
Діофантове рівняння  не
має розв’язків , бо у даному випадку 𝑑 = 3 і 100 не ділиться
на 3.
2.
Діофантове рівняння  має
нескінченну кількість розв’язків, оскільки 𝑑
= 1.
Теорема
3.
Якщо
 задовольняє
конгруенцію
 ,
то
 є
розв’язком діофантового рівняння
 (4)
Доведення.
Із
 випливає,
що  -
ціле число, і безпосередня підстановка показує, що
Теорема
4.
Нехай
𝑑
– найбільший спільний дільник чисел 𝑎
і 𝑏,
де  і
 -
деякий розв'язок діофантового рівняння:
Тоді
множина розв’язків рівняння (4) в цілих числах співпадає з множиною пар чисел ( ),
де  ,
а 𝑡
– будь-яке ціле число.
Доведення.
Нехай
 -
довільний розв'язок діофантового рівняння (4), тобто  (5)
за
умовою  задовольняють
рівняння (4), тобто 
віднявши
від рівності (5) останню рівність і поділивши все на 𝑑,
отримаємо:
де  і
 –
цілі числа. Тоді  ,
причому ,
маємо  ,
 ,
 ,
де 𝑡
– деяке ціле число. Підставляючи знайдене значення  в
(5), отримаємо:
звідки
 .
Таким
чином, будь-який розв'язок рівняння (4) буде мати вигляд:
 ,
 ,
де
𝑡
– деяке ціле число.
Обернене
твердження також правильне. Нехай  такий
набір пар чисел, що
 ,
 .
Безпосередня
перевірка показує, що
Тобто
 -
розв'язок діофантового рівняння (4).
Зауваження.
Теорема
правильна і тоді, коли 𝑎 і 𝑏
дорівнюють нулю. Наприклад, при  ,
тобто у випадку рівняння  ,
отримуємо  і
при  для
𝑦
існує єдине значення  ,
а 𝑥
– довільне ціле. Будь-який розв'язок цього рівняння можна представити у вигляді
 ,
 ,
і при будь-якому 𝑡
такі  задовольняють
рівняння  .
Приклад.
Розв’язати
рівняння 
У
цьому рівнянні (50, 42) = 2. 34 .
Розглянувши конгруенцію  знаходимо:
 ,
так що 25 .
Будь-який
розв'язок даного діофантового рівняння має вигляд:
§2.
Невизначені рівняння вищих порядків
2.1
Рівняння  .
Піфагорові трійки
Розв'язок
невизначеного рівняння  в
цілих числах.
Можна
взяти 𝑥,
𝑦,
𝑧
такими, що вони не мають спільного дільника, більшого за одиницю, інакше можна
було б одразу скоротити обидві частини рівняння  на
квадрат цього множника. Із таких міркувань випливає, що 𝑥,
𝑦,
𝑧
є попарно взаємно простими, бо якщо, наприклад 𝑥,
𝑦
ділились на  ,
то і 𝑧
ділилось би на 𝑑.
Таким чином, одне з чисел 𝑥, 𝑦
повинно бути непарним. Легко бачити, що інше має бути парним. Інакше в
протилежному випадку, якщо б  ,
то  ділилось
на 2, але не ділилось би на 4 і тому не було б квадратом.(Якщо  .
Таким чином квадрат не може ділитися на 2 і не ділитися на 4 одночасно).
Нехай
𝑥
– парне, 𝑦
– непарне, тоді 𝑧
– непарне. Візьмемо
отримаємо
 .
𝑡
і 𝑢
– взаємно прості. Дійсно, якщо 𝑡 і 𝑢
мали спільний множник  ,
то 𝑑
містився б в  ,
а це неможливо, бо 𝑦 та 𝑧
є взаємно простими.
Тому
𝑡
та 𝑢
повинні бути порізну точними квадратами. Доведемо це. Для цього скористаємось
теоремою про розклад чисел на прості множники. Маємо
Таким
чином, в силу наслідків із теореми про розклад отримуємо
Але
так як 𝑡
та 𝑢
взаємно прості, то для кожного 𝑖 одне
із чисел  дорівнює
нулю і тому інше дорівнюватиме  .
Отже, всі показники в розкладах чисел 𝑡 та 𝑢
парні, звідки випливає, що кожне із цих чисел є точним квадратом:
Звідси
 (5)
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 |
