Курсовая работа: Основы геодезических измерений
E = Q + O +∆
Если грубые и систематические
погрешности могут быть изучены и исключены из результата измерений, то
случайные могут быть учтены на основе глубокого измерения. Изучение на основе
теории вероятностей.
На практике сложность заключается в
том, что измерения проводятся какое-то ограниченное количество раз и поэтому
для оценки точности измерений используют приближённую оценку среднего
квадратического отклонения, которую называют среднеквадратической
погрешностью (СКП).
Гауссом была предложена формула
среднеквадратической погрешности:
∆2ср = (∆21
+ ∆22 +… +∆2n) / n,
∆2 = m2 = (∆21 + ∆22
+… +∆2n)
/ n,
∆ = m,
∆ср = m = √(∑∆2i / n)
Формула применяется, когда
погрешности вычислены по истинным значениям.
Формула Бесселя:
m = √(∑V2i / (n-1))
Средняя квадратическая погрешность
арифметической середины в Ön раз
меньше средней квадратической погрешности отдельного измерения
М=m/Ön
При оценке в качестве единицы меры
точности используют среднеквадратическую погрешность с весом равным единице. Её
называют средней квадратической погрешностью единицы веса.
µ2 = P×m2 – µ = m√P, m = µ / √P, т.е. средняя квадратическая
погрешность любого результата измерения равна погрешности измерения с весом 1
(µ) и делённая на корень квадратный из веса этого результата (P).
При достаточно большом числе
измерений можно записать ∑m2P=∑∆2P (так как ∆ = m):
µ = √(∑(∆2×P)/n), т.е. средняя квадратическая
погрешность измерения с весом, равным 1 равна корню квадратному из дроби в
числителе которого сумма произведений квадратов абсолютных погрешностей
неравноточных измерений на их веса, а в знаменателе – число неравноточных
измерений.
Средняя квадратическая погрешность
общей арифметической середины по формуле:
M0 = µ / √∑P
Подставив вместо µ её значение
получим :
M0 = √(∑∆2×P/n) / (√∑P) = √[(∑∆2×P) / n×(∑P)]
M0 = √[ (∆12P1 + ∆22P2 +… + ∆n2Pn) / n×(P1 + P2 + … + Pn) ] – формула Гаусса, средняя квадратическая погрешность
общей арифметической середины равна корню квадратному из дроби, в числителе
которой сумма произведений квадратов погрешностей неравноточных измерений на их
веса, а знаменатель – произведение количества измерений на сумму их весов.
µ = √ [∑( V2×P ) / (n-1)] Это формула Бесселя для
вычисления средней арифметической погрешности с измерением веса, равным 1 для
ряда неравноточных измерений по их вероятнейшим погрешностям. Она справедлива
для большого ряда измерений, а для ограниченного (часто на практике) содержит
погрешности: mµ = µ / [2×(n-1)] – это надёжность оценки µ.
Контрольная задача 1
Для исследования теодолита им был
многократно измерен один и тот же угол. Результаты оказались следующими: 39˚17.4';
39˚16.8'; 39˚16.6'; 39˚16.2'; 39˚15.5'; 39˚15.8'; 39˚16.3';
39˚16.2'. Тот же угол был измерен высокоточным угломерным прибором, что
дало результат 39˚16'42". Приняв это значение за точное, вычислить
среднюю квадратическую погрешность, определить надёжность СКП, найти предельную
погрешность.
Решение:
№ измерения |
Результаты
измерений, l |
Погрешности
∆ = l-X
|
∆2 |
1 |
39˚17.4' |
+0.7' |
0.49 |
2 |
16.8 |
+0.1 |
0.01 |
3 |
16.6 |
-0.1 |
0.01 |
4 |
16.2 |
-0.5 |
0.25 |
5 |
15.5 |
-1.2 |
1.44 |
6 |
15.8 |
-0.9 |
0.81 |
7 |
16.3 |
-0.4 |
0.16 |
8 |
16.2 |
-0.5 |
0.25 |
Сумма |
|
|
3.42 |
39˚16'42" = 39˚16.7'
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 |