Дипломная работа: Рентгеноструктурний аналіз молибдену

 (69)

Відповідну інтенсивність визначимо множенням виразу (69) на його комплексно-зв'язану величину:

або

 (70)

де Ie інтенсивність, віднесена до інтенсивності розсіювання одним електроном; Rj — Rk — векторна міжатомна відстань. Подвійна сума містить N2 членів. Серед них є N членів, для яких j ≠ k. Для кожного такого члена експоненціальний множник звертається в одиницю. Інші N2 — N членів залежать від взаємного розташування атомів. Оскільки, по припущенню, всі атоми системи однакові, вираз (70) приймає вигляд

 (71)

Воно визначає інтенсивність розсіяного випромінювання, обумовленого миттєвим розташуванням атомів. Проте дифракційний експеримент дає не миттєву, а середню за час експозиції картину розсіювання.

Для того, щоб теоретично знайдений кутовий розподіл інтенсивності і одержане з досвіду відповідали один одному, необхідно всі члени подвійної суми в (71) усереднити по всіх можливих положеннях атомів в опромінюваному об'ємі зразка. Результат усереднювання залежатиме від того, чи є міжатомний вектор Rjk = Rj — Rk постійним по модулю або ж що безперервно змінюється від точки до точки. Випадок Rjk = const відноситься до молекули, другої — до речовини з безперервним розподілом атомів. Досліджуємо газ, молекули якого складаються з n атомів. Якщо тиск газу не дуже великий, то за кінцевий проміжок часу всі орієнтації молекул зустрічатимуться однаково часто. Отже, щоб одержати повну інтенсивність розсіювання в газі, потрібно визначити середнє значення інтенсивності для однієї молекули і помножити його на число молекул газу.

Щоб визначити середнє значення I(S), розглянемо в молекулі атоми j і k. Сумістимо початок координат з центром атома j. За вісь відліку кута α приймемо вектор n — n0 паралельний осі Z . Тоді вірогідність того, що напрям вектора Rjk складає з осями координат кути, укладені між α і α + d α, φ і φ + d φ, рівна відношенню елементу сферичної поверхні до поверхні сфери:

 (72)

Умножаючи (71) на (72) і інтегруючи по кутах α і φ, знайдемо для однієї молекули формулу вперше одержану Дебаєм.

 (73)

Вона описує зв'язок між кутовим розподілом інтенсивності розсіювання окремими молекулами і їх структурою. Якщо молекули газу двухатомні, то інтенсивність розсіювання ними рівна

 (74)

При малих значеннях S інтенсивність I(S) наближається до 4F2, а при великих S — до 2F2. У області проміжних значень S крива має максимуми і мінімуми, положення яких визначимо, прирівнявши нулю похідну функції (74). Припускаючи, що атоми розсіюють як точки, що справедливе для нейтронів, одержимо рівняння tgSR = SR . З його рішення виходить, що перший максимум I(S) з'являється при S1R1 = 2,459π = 7,73 звідки

R1 = 7,73/S1 (75)

Насправді атоми розсіюють рентгенівське випромінювання і електрони не як точки і функція F2(S), що фігурує як співмножник у формулі (74), швидко убуває у міру зростання S. В результаті максимуми на кривій розсіювання стають менш чіткими, їх положення зміщується у бік великих S. Тому, щоб по формулі (75) обчислити відстань між атомами в двоатомній молекулі, необхідно розділити інтенсивність, заміряну для кожного кута, на атомний чинник, відповідний цьому куту. При цьому виходить функція інтенсивності а(S)= 1 + sinSR/(SR) перший максимум якої описується формулою (75). Якщо молекула містить більше двох атомів, то експериментальна крива інтенсивності визначиться сумою кривих, описуваних рівнянням (74). При цьому положення першого максимуму може не відповідати значенню R1. Для рідин і аморфних тіл обчислення середнього значення подвійної суми у виразі (71) роблять за допомогою радіальної функції розподілу W(R), пов'язаної з вірогідністю знаходження атома j в елементі об'єму dVj а атома k — в елементі dVk, співвідношенням

 (76)

де V — об'єм розсіюючої частини зразка; Rjk — відстань між парою атомів.

Середнє значення часток інтенсивності, що вносяться парами атомів j і k, виходить при множеннях кожного члена в подвійній сумі на (76) і інтеграціях по елементах об'єму як для dVj так і для dVk. Отже,

(77)

При збільшенні Rjk функція W(Rjk)→1, тому її зручно уявити у вигляді

W(Rjk) = [W(Rjk) — 1]+1 (78)

Припускаючи, що всі N(N — 1) членів подвійної суми рівні між собою, і нехтуючи одиницею в порівнянні з N, маємо

(79)

Або <I> = NF2(1 + NX1 + NX2) (80)

Розглянемо інтеграл

 (81)

Інтеграція по Vj розповсюджується на весь об'єм розсіюючої частини зразка, який можна прийняти за сферу радіусу L. Що ж до об'єму Vk той його аналітичний вираз залежить від взаємного розташування атомів. Але оскільки функція W(Rjk) сферично симетрична і при Rjk > Rk рівна одиниці, можна припустити, що Vk має форму сфери, радіус Rk якої визначає протяжність ближньої впорядкованості атомів.

Щоб обчислити подвійний інтеграл (81), припустимо, що вірогідність знаходження атома усередині об'єму V скрізь однакова. Тоді

 Сумісний центр атома j з початком координат. Положення атома k по відношенню до атома j визначатиметься відстанню R і кутами α і φ. Вираз (81) перетвориться до вигляду

 (82)

Інтегруючи (81), одержимо

 (83)

Подвійний інтеграл обчислюється точно в припущенні, що розсіююча частина зразка має форму сфери радіусу L.

 (84)

Підінтегральний вираз розпадається на два множники, одні з яких залежить від координат атома j а інший — від координат атома k. При цьому кожна інтеграція розповсюджується на весь об'єм V. Маємо

(85)

Підставляючи в (80) формули (83) і (85) знаходимо що усереднена інтенсивність розсіювання рівна

 (86)

Оскільки функція W(R)= 1 при R ≥ Rk то межі інтеграції від 0 до ∞ можна замінити межами від 0 до Rk. Враховуючи, що W(R) = Nρат(R)/V, а N/V = <ρат> одержимо

(87)

Перший доданок визначає інтенсивність розсіювання окремими атомами за відсутності інтерференції між ними; друге — розподіл інтенсивності розсіювання за наявності інтерференції, обумовленої ближнім порядком в розташуванні атомів. Третій доданок визначає інтенсивність розсіювання у області дуже малих кутів. Числове значення цього доданку залежить від розміру і форми зразка і не залежить від його внутрішньої структури. Дійсно, максимальне значення функції φ(SL)= 3(sinSL—SLcosSL)/(SL)3 дорівнює одиниці при SL = 0. Із зростанням SL функція φ(SL) здійснює сильно затухаючі осциляції щодо нульових значень, визначуваних рівнянням SL = tgSL, тобто при SL рівних 4,49; 7,74. При SL> 4,49 значення φ(SL) малі в порівнянні з одиницею. З рівності S = 4,49/L витікає, що для зразків порядка 0,1—0,2 см значення S = 4,5•10-7 Å -1. Малокутове розсіювання на зразках таких розмірів співпадає з первинним пучком. Його інтенсивність не може бути заміряна за допомогою звичних засобів. Це розсіювання експериментально виявляється в тих випадках, коли в досліджуваній речовині є флуктуації, колоїдні частинки або макромолекули розміром до 103 Å. Таким чином, за винятком малокутового розсіювання, інтенсивність, вимірювана експериментально, визначається рівнянням

 (88)

Щоб написати аналогічні рівняння для випадку розсіювання електронів тією ж речовиною, слідує атомну амплітуду розсіювання рентгенівського випромінювання замінити на атомну амплітуду розсіювання електронів, залишивши решта членів без змін. Якщо при дослідженні застосовуються нейтрони, то рівняння (88) можна представити у вигляді

 (89)

де bК — амплітуда когерентного розсіювання нейтронів зв'язаними ядрами, усереднена по станах спинів і ізотопах даного елементу. Застосовуючи до рівнянь (88) і (89) Фурье-перетворення, одержимо:

 (90)

 (91)

Ці рівняння лежать в основі вивчення структури атомарних рідин і аморфних тіл.

Параметри, визначувані по кривих інтенсивності

Безпосереднім результатом рентгено-, електроно- і нейтронографічних досліджень рідин і аморфних тіл є інтерференційна картина. У разі одноатомних рідин і аморфних тіл вона несе інформацію про ближній порядок в розташуванні атомів. Картина розсіювання молекулярними рідинами і аморфними тілами відображає атомний склад молекул, їх конфігурацію і взаємне розташування. Задача дослідження полягає в тому, щоб по інтерференційній картині відтворити просторову структуру речовини, встановити зв'язок між структурою і фізичними властивостями.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14