Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

правая часть предела не имеет, так как не имеет предела последовательность n =  = Cos(n) + iSin(n).

Следовательно  = ,   2n собственным числом не является.

Эти точки будут принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0,+), так как спектр замкнутое множество и граница единичного круга должна принадлежать спектру оператора А в пространстве С[0, +).

Сделаем вывод:

При ||>1 все точки регулярные;

При ||<1 и =1 – точки спектра;

При  = ,   2n – точки непрерывного спектра.

Вывод:

Оператор А, действующий в пространстве непрерывных и ограниченных функций – C[], заданный следующим образом: Af(x) = f(x+a), где функции f(x), f(x+a)  C[], a  R, f(x+a) – непрерывная и ограниченная функция:

1.  линейный;

2.  непрерывный и ограниченный;

3.  норма А: ||A|| = 1;

4.  A-1f(x) = f(x-a);

5.  Спектр оператора А:

·  при ||<1 и =1 – точки спектра;

·  при  = ,   2n – точки непрерывного спектра;

·  При ||>1 все точки регулярные.

Заключение

В ходе проделанной работы были рассмотрены основные определения теории линейных операторов: непрерывность, ограниченность, норма, спектр оператора и резольвента. Проведено исследование четыре оператора: оператор умножения на непрерывную функцию, оператор интегрирования, оператор дифференцирования, оператор сдвига. Можно сказать, что поставленные цели были достигнуты.

Список литературы

1.   Колмогоров, А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа [Текст]/ А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука; Главная редакция физико–математической литературы, 1972.

2.   Соболев, В.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа [Текст] / В.И. Соболев. - М.: Наука, 1968.

3.   Петров, В.А., Виленкин, Н.Я, Граев, М.И. Элементы функционального анализа в задачах [Текст]/ В.А. Петров, Н.Я. Виленкин, М.И. Граев под ред. О.А. Павлович. - М.: Просвещение, 1978.

4.   Данфорд, Н. Линейные операторы. Общая теория [Текст]/ Н. Данфорд, Дж.Т. Шварц; под ред. А.Г. Костюченко; пер. с англ. Л.И. Головина, Б.С. Литягина. – М.: Издательство иностранной литературы, 1926.

[1] Ex и Ey  - линейные многообразия, то есть если x, y  Ex , то x + y  Ey , при  , .

Ex – область определения А;

Ey  - область значения А;

[2] Равенства 1 и 2 определяются как аксиомы аддитивности и однородности;

[3]Шаром в метрическом пространстве называется совокупность элементов x пространства, удовлетворяющих условию p (xn, x0) < а.

Шар D(x0, a).

Если p (xn, x0)  а, то D(x0, a) – замкнутый шар.

Если p (xn, x0) = а, то S(x0, a) – сфера.

Всякий шар метрического пространства, содержащий точку y, называется окрестностью точки y.

[4]Свойства нормы оператора.

1) Если оператор  ограничен, , то и оператор  ограничен, причем .

2) Если операторы  ограничены, то и оператор  ограничен, причем  и .

[5]Линейный функционал, есть частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал есть линейный оператор, переводящий пространство E в числовую прямую.

[6] Резольвента – это функция комплексного переменного со значениями во множестве операторов, определенная на множестве регулярных чисел данного оператора.