Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

||А||  K, для K, подходящего для (1), то есть |А(x)|  ||А||||x||, где

||А|| =     xE.

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно справедлива следующая теорема.

Теорема 3.

Для того, чтобы линейный оператор А действующий из Ex в Ey был ограничен, необходимо и достаточно, чтобы оператор А был непрерывен.

Необходимость:

Дано: А – ограничен;

Доказать: А – непрерывен;

Доказательство:

Используя теорему 1 достаточно доказать непрерывность А в нуле.

Дано, что ||Аx||  K||x||.

Докажем, что А непрерывен в нуле, для этого должно выполняться >0, >0 что ||x||<   ||Ax|| < .

Выберем  так, чтобы K*||x|| < , ||x|| < , (К>0), значит  = , тогда если ||x||< , то ||Аx||  K||x|| < K =  

Непрерывность в нуле доказана, следовательно доказана непрерывность в  точке.

Достаточность:

Дано: А – непрерывен;

Доказать А – ограничен;

Доказательство:

Допустим, что А не ограничен. Это значит, что числу 1 найдется хотя бы один соответственный вектор x1 такой, что ||A x1|| > 1|| x1||.

Числу 2 найдется вектор x2, что ||A x2|| > 2|| x2|| и т.д.

Числу n найдется вектор xn, что ||A xn|| > n|| xn||.

Теперь рассмотрим последовательность векторов yn = , где

||yn|| = .

Следовательно последовательность yn  0 при n  .

Так как оператор А непрерывен в нуле, то Аyn  0, однако

||Аyn || = ||A|| = ||Axn || > n|| xn|| = 1, получаем противоречие с Аyn  0, то есть А – ограничен

Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны.

Примеры.

1) Покажем, что норма функционала[5] F(y) =  в C[a, b], где p(x) – непрерывная на [a,b] функция, равна .

По определению 5: ||F|| = |F(x)| = ||.

||  || = |y(x)|||  |y(x)|||;

||F|| = (|y(x)|||) = ||y(x)|||| = ||  .

Таким образом, норма F(y) =  будет ||F|| = ;

2) Найдем норму функционала, определенного на C[0, 2], где p(x)=(x-1)

F(y) = .

По выше доказанному ||F|| =  = 1.

§3. Обратный оператор. Спектр оператора и резольвента

Пусть ,  – нормированные пространства,  – линейный оператор, DA- область определения оператора, а RA – область значений.

Определение 6. Оператор А называется обратимым, если для любого элемента у, принадлежащего RA, уравнение Ах=у имеет единственное решение.

Если оператор А обратим, то каждому элементу у, принадлежащему RA, можно поставить в соответствие единственный элемент х, принадлежащий DA и являющийся решением уравнения Ах=у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным оператором к оператору А и обозначается А-1.

Теорема 4.

Для того чтобы линейный оператор  имел ограниченный обратный оператор необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство:

, (m>0).

Доказательство:

Достаточность.

Пусть выполняется данное неравенство. Тогда равенство Ax=0 возможно лишь тогда, когда x – нулевой вектор. Получим 0  m*||x||, отсюда ||x||  0, но так как норма не может быть <0, то x=0. А обращается в ноль лишь на нулевом векторе. Итак, А-1 существует.

Докажем его ограниченность.

y=Ax.

x=A-1y, норма ||A-1y||=||x||, но ||x||  ||Ax||=||y||.

Отсюда ||A-1y||  ||y||, то есть обратный оператор существует и он ограничен.

Если за m возьмем наибольшую из возможных, то получим, что ||A-1||=.

Необходимость.

Пусть от А имеется ограниченный обратный А-1 на нормированном пространстве.

Итак, ||A-1y||  М||y||.

Подставляем значение y и значение A-1y,получим ||x||  M||Ax|| (М всегда можно считать положительным числом).

Отсюда ||Ax||  ||x||.

Положим =m, получим ||Ax||  m||x||.

т. д-на.

В теории операторов важную роль играет понятие спектра оператора. Рассмотрим это понятие сначала для конечномерного пространства.

Определение 7. Пусть А – линейный оператор в n-мерном пространстве Еn. Число λ называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах=λх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения λ – регулярными. Иначе говоря, λ есть регулярная точка, если оператор , где I – единичный оператор, обратим, При этом оператор (А – λI)-1, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен. Итак, в конечномерном пространстве существуют две возможности:

1)  уравнение Ах=λх имеет ненулевое решение, то есть λ является собственным значением для оператора А; оператор (А – λI)-1 при этом не существует;

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8