Главная страница > Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

Форма поиска
Показать/спрятать результаты

Авторизация

Статистика

Последние новости
Новости

Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

2) существует ограниченный оператор (А – λI)-1, то есть λ есть регулярная точка.

В бесконечном пространстве имеется еще и третья возможность, а именно:

3) оператор (А – λI)-1 существует, то есть уравнение Ах=λх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор не ограничен.

Введем следующую терминологию. Число λ мы назовем регулярным для оператора А, действующего в линейном нормированном пространстве Е, если оператор (А – λI)-1, называемый резольвентой оператора А, определен на всем пространстве Е и непрерывен. Совокупность всех остальных значений λ называется спектром оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как, если (А – λI)х=0 при некотором х≠0, то оператор (А – λI)-1 не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, то есть совокупность тех λ, для которых (А – λI)-1 существует, но не непрерывен, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение λ является для оператора А или регулярным, или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра – существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.

Определение 8. Оператор , где – регулярная точка оператора А, называется резольвентой[6] оператора А и обозначается (или ).

Теорема 5. Пусть – линейный непрерывный оператор, его регулярные числа. Тогда .

Доказательство. Умножим обе части равенства на : (==. С другой стороны получим . Так как числа – регулярные для оператора А, то оператор имеет обратный. Значит, из равенства следует, что . Значит, утверждение теоремы верно.

т. д-на.

Примеры.

1) Рассмотрим в пространстве C[0,1] оператор умножения на независимую переменную t: Ax = tx(t).

Уравнение Аx=x принимает в этом случае вид:

tx(t) - x(t) = y(t),

решение x(t) этого уравнения есть функция, тождественно ему удовлетворяющая.

Если лежит вне отрезка [0, 1], то уравнение Аx=x имеет при любом y(t) единственное непрерывное решение:

x(t) = y(t),

откуда следует, что все такие значения параметра являются регулярными, и резольвента есть оператор умножения на :

R(y) = y(t).

Все значения параметра, принадлежащие отрезку[0, 1], являются точками спектра. В самом деле, пусть 0 [0, 1]. Возьмем в качестве y(t) какую-нибудь функцию, не обращающуюся в нуль в точке 0, y(0) = a 0. Для такой функции равенство (t - 0)x(t) = y(t), не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной на отрезке [0, 1] функции x(t), ибо в точке t = 0 левая часть его равна нулю, в то время как правая отлична от нуля. Следовательно, при = 0 уравнение Аx=x не имеет решения для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность 0 спектру оператора A. Вместе с тем ни одна точка спектра не является собственным значением, так как решение однородного уравнения (t - )x(t) = 0, [0, 1], при любом t, отличном от , а следовательно, в силу непрерывности и при t = , обращается в нуль, т.е. тождественно равно нулю.