Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

При  > 0

 = ;

 = 1;

При  < 0

 =1;

 = ;

Эти оба случая можно записать в общем виде: {1, }, тогда

|g(x)|*(  + ***b)  |g(x)|*(  + *{1, }*b) = ||g(x)||*(  + *{1, }*b);

Итак:

||Bg||  ||g(x)||*(  + *{1, }*b);

То есть В – ограничен.

Осталось проверить, что В – оператор, обратный к (A - *I).

Если это так, то произведение этих операторов равно единичному оператору или же (A - *I)*(Bg) = g(x).

Итак, нужно доказать, что

 + g(x) + * = g(x)

или

-* -  + ** = 0;    (*)

Возьмем производную от левой части (*) и получим:

-*g(x) - ** + ** + *** g(x) = -*g(x) + *g(x) - ** + ** = 0;

Следовательно, выражение (*) = const. Но, так как при x=0 выражение (*) (точнее его левая часть) равно 0, то и const=0. Значит В – обратный оператор к (A - *I) в S.

Итак, мы получили ограниченный оператор В, обратный к (A - *I), который существует при    R, за исключением =0, то есть все возможные 0 – это регулярные точки оператора А; Сам же оператор В – резольвента оператора А. Спектр оператора А – значение  при которых В не существует, то есть =0.

Вывод:

Оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций – C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом: Аf(t) = , где f(t) – функция, непрерывная на [a, b], t  [a,x]; x  [a,b]; a,bR:

1.  линейный;

2.  непрерывный;

3.  ограниченный: 0  ||  |b-a|;

4.  норма A: ||A|| = (b-a);

5.   резольвента оператора А: R(A) = - - **, где

x  [0,b], t  [0,x], g(x)  S, S = {f  C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f||=|f(x)|, g(x) =  - *f(x), - произвольное число.

6.  Спектр оператора А: =0.

§6. Оператор дифференцирования.

Рассмотрим оператор дифференцирования Д действующий в пространстве дифференцируемых функций – D[a,b], заданный следующим образом:

Дf(x) = f/(x);

Функция f(x)  D[a, b], f/(x)  C[a, b];

Проверим оператор Д на линейность, по определению 1:

1) Аксиома аддитивности: Д(f+g) = Д(f) + Д(g).

Д(f+g) = (f+g)/ = f/ + g/ = Д(f) + Д(g).

2) Аксиома однородности: Д(kf) = kД(f).

Д(kf) = (kf) / = k(f)/ = kД(f).

Исходя из свойств производной:

1.  производная от алгебраической суммы нескольких функций равна алгебраической сумме их производных;

2.  постоянный множитель можно вынести за знак производной.

Можно утверждать, что Д – линейный оператор.

3) Для линейных операторов ограниченность и непрерывность оператора эквивалентны, это следует из теоремы 3.

3.1) Для начала покажем, что Д не является непрерывным оператором.

Задан оператор Дf(x) = f/(x) подпространства E  C[0, 2], состоящего из непрерывно дифференцируемых функций, в пространство C[0, 2].

Рассмотрим f0(x) = 0  C[0, 2] и последовательность функций fn(x)=.

В пространстве E  C[0, 2]: p (f0, fn) = || =   0, следовательно fn   f0.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8