Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

0  ||  |b-a|.

5) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму. Найдем норму оператора А (используя определение ||A||=|A(f)|):

||A|| = |A(f)| =  ||     = (x-a);

a  x  b;

Норма оператора А: ||A|| = (b-a);

6) Обратимость интегрального оператора и его спектр.

Возьмем пространство S = {f  C[0,b] / f(0) = 0} с нормой ||f|| = |f(x)|.

В пространстве S рассмотрим оператор А:

Аf =

x  [0,b], t  [0,x];

Найдем оператор обратный к (A - *I),   R;

(A - *I)*f = g

 - *f(x) = g(x)          (1)

Пусть функции f и g дифференцируемы;

Продифференцируем уравнение (1), получим:

f - *f/ = g/           (2)

Это уравнение (2) – дифференциальное неоднородное линейное уравнение. Решим это уравнение, используя метод Бернулли.

 - f/ =

 -  + f/ = 0           (3)

Представим решение уравнения в виде: f(x) = U(x)*V(x), тогда уравнение (3) примет вид:

 - *U*V + U/ *V + U*V/  = 0

U/ *V + U*V/ - *U*V = -

U/ *V + U*(V/ - *V) = -          (4)

Решаем однородное линейное уравнение:

V/ - *V = 0

V/ = *V

 = *V

 =

LnV =  + c

V = *, пусть  = с1

V = с1*

Подставим частное решение однородного уравнения в уравнение (4) при условии, что V/ - *V = 0.

Получим уравнение:

U/ * с1* = -

 = -

 = - *

U = -*

Подставим U и V в f(x) = U(x)*V(x) и получим:

f(x) = с1**(-)*

найдем интеграл Y = , интегрируем по частям:

dz = g/(x)dx;

z =  = g(x);

j = ;

dj = - *dx;

Y = g(x)*  + *

Подставим полученное значение в выражение f(x), которое примет вид:

f(x) = - - **;

Получим оператор В:

Bg = - - **;

x  [0,b], t  [0,x], g(x)  S,  - произвольное число.

Оператор В не существует, если  = 0;

Рассмотрим ограниченность оператора В для всех   R,   0;

||Bg|| = ||f(x)|| = |f(x)| = |- - **|  (|| + |**|)  || + |**|  || + |*|*|g(x)* |*|x|  *|g(x)| + *|g(x)|* (||*|x|)  |g(x)|*(  + ***b);

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8