Дипломная работа: Некоторые линейные операторы

Ах(t) = g(t) x(t).

g(t) - функция, непрерывная на [a, b]; a,bR.

Проверим является ли оператора А линейным, то есть, по определению 1, должны выполняться аксиомы аддитивности и однородности.

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) = (g(t)+f(t))x(t) = g(t)x(t)+f(t)x(t) = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(k*f) = k*A(f).

A(k*f) = A(k*x(t)) = k*g(t)x(t) = kA(x(t)) = k*A(f).

По средствам арифметических операции над функциями, аксиомы аддитивность и однородность выполняются. Оператор А является линейным по определению.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (fn(x), f0(x))  0        p (A fn(x), Af0(x)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C[], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (fn(x), f0(x)) = | fn(x) - f0(x)|.

Решение:

p (A xn(t), Ax0(t)) = |Axn(t) - Ax0(t)| = |xn(t)g(t) - x0(t)g(t)|   |g(t)| |xn(t) - x0(t)| = |g(t)|p (xn(t), x0(t))  0.

Итак, p (A xn(t), Ax0(t))  0. Следовательно по определению 2 оператор А является непрерывным, а по теореме 3 он ограничен.

4) Оператор А ограниченный, следовательно у него можно найти норму.

По определению 5: ||A||=|A(f)|.

Решение.

||A||=|A(f)|=|g(t)x(t)|.

|g(t)x(t)|  |g(t) x(t)| = |g(t)| |x(t)|  |x(t)| |g(t)|.

||A||= |x(t)| |g(t)| =  ||x(t)|| |g(t)|  |g(t)|.

Норма оператора А: ||A|| = |g(t)|.

5) Обратимость оператора А, его спектр и резольвента.

Возьмем произвольное число  и составим оператор :

(А-lI) x(t) = (g(t) –l ) х(t).

Чтобы найти обратный оператор, нужно решить уравнение   относительно функции . Это возможно, если  для любого :

.

Если число  не является значение функции g(t), то знаменатель не обращается в 0, и функция  непрерывна на данном отрезке, а, значит, ограничена: существует такое число С, что на всем отрезке . Отсюда следует, что оператор  является ограниченным.

Если же , то оператор  не существует. Следовательно, спектр оператора состоит из всех l = g(t).

Резольвента оператора имеет вид .

Отметим, что точки спектра , , не являются собственными числами. Не существует такой непрерывной функции , для которой , или . Поэтому весь спектр данного оператора является непрерывным.

Вывод:

Оператор A, заданный формулой: Ах(t) = g(t)x(t), где g(t) - функция, непрерывная на [a, b], a,bR:

1.   линейный;

2.  непрерывный;

3.  ограниченный, с нормой ||A|| = |g(t)|;

4.  обратим при , для любого ;

5.  спектр оператора состоит из всех l = g(t); спектр данного оператора является непрерывным;

6.  резольвента имеет вид .

§5. Оператор интегрирования

Рассмотрим оператор интегрирования, действующий в пространстве непрерывных функций - C[a,b], определенных на отрезке [a,b], заданный следующим образом:

Аf(t) = .

f(t) – функция, непрерывная на [a, b],t  [a,x]; x  [a,b]; a,bR;

Поскольку  - интеграл с переменным верхним пределом, есть функция от верхнего предела – F(x), a  x  b; Следовательно можно утверждать, что А – оператор.

Проверим оператор A на линейность. По определению 1:

1) Аксиома аддитивности: A(f+g) = A(f) + A(g).

A(f+g) =  =  +  = A(f) + A(g).

2) Аксиома однородности: A(kf) = kA(f).

A(kf) =  = k* = kA(f).

Исходя из свойств интеграла:

1.  интеграл от суммы, есть сумма интегралов;

2.  вынесение const за знак интеграла.

Можно сделать вывод: оператор А является линейным.

3) Проверим, является ли А непрерывным, для этого воспользуемся определением непрерывности:

p (fn(t), f0(t))  0        p (A fn(t), Af0(t)) 0.

Оператор А, действует в пространстве C[a,b], в котором расстояние между функциями определяется следующим образом:

p (fn(t), f0(t)) = | fn(t) - f0(t)|.

Решение:

p (A fn(t), Af0(t)) = | - |.

| - | = ||     = p (fn(t), f0(t))  = p (fn(t), f0(t)) (x-a)  0

axb.

Таким образом p (A fn(t), Af0(t))  0. следовательно по определению 2 оператор А непрерывен.

4) Непрерывный оператор является ограниченным (теорема 3):

||  ||  ||

|| = 0; || = |b-a|.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8