Контрольная работа: Теория игр и статических решений

Игра антагонистическая, значит можем найти MinMax и MaxMin и сравнить их.

MaxMin = Max (2, 0, -3) = 2 и соответствует s1.

MinMax = Min (6, 2, 4, 9, 4) = 2 и соответствует c2.

Получаем, что MinMax = MaxMin = 2, следовательно в игре существует равновесие по Нэшу в чистых стратегиях и соответсвует (s1, c2).

6. На корабле 50 пиратов делят 100 кусков золота по следующему правилу: первым дележ предлагает капитан. Если хотя бы половина команды (включая капитана) согласна, то на этом игра и заканчивается. Если нет, то капитана выбрасывают за борт и дележ предлагает следующий по старшинству и т.д. Найдите совершенное подыгровое равновесие в этой игре.

Решение:

Будем использовать метод обратной индукции. Упорядочим всех пиратов по старшинству.

1.  Предположим, что остался один пират. Тогда он предложит отдать все куски золота ему, с чем согласится и получит все золото.

2.  Осталось 2 пирата. Чтобы старшему пирату заполучить все золото, ему нужно набрать один голос. Соответственно он предложит все золото отдать ему, согласится и получит все золото. Исход игры не зависит от того, согласен с этим решением или не согласен второй пират.

3.  Осталось 3 пирата. Чтобы получить одобрение плана и остаться в живых самому старшему пирату необходимо получить 2 голоса. Второй пират знает, что он может получить все золото, если останется он и еще один пират. Потому он всегда будет голосовать против. Остался самый младший пират. Он также знает, что если останутся 2 пирата, то он не получит ничего. Если же в текущем дележе ему достанется хотя бы один кусок голоса, то он проголосует за дележ. Потому в условиях, когда осталось 3 пирата старший предлагает самому младшему один кусок золота, а все остальное оставляет себе. При таком дележе он точно получит 2 голоса: свой и самого младшего пирата.

4.  Осталось 4 пирата. Для принятия плана дележа вновь необходимо заполучить 1 дополнительный голос, помимо своего. При этом все пираты понимают, что если останется 3 пирата, то дележ будет осуществлен в соответствии с п.3, в котором самый младший пират получает 1 кусок золота второй по старшинству не получает ничего. Если второму по старшинству пирату предложить хотя бы один кусок золота, то он проголосует за этот план, т.к. его выигрыш больше. Необходимое количество голосов будет набрано и остальным пиратам можно не платить ничего, и от их вариантов голосования ничего не зависит. Соответственно дележ будет таким: самому младшему пирату не достается ничего, второму отдается 1 кусок золота, третьему ничего, а четвертый (самый старший из оставшихся) получает 99 кусков золота.

5.  Осталось 5 пиратов. Необходима поддержка двух дополнительных голосов. На предыдущем шаге ничего не получают самый младший и третий пираты и они это понимают. Потому предложить им более выгодные условия и получить поддержку их голосов. Поступаем в соответствии с п 3. – отдаем самому младшему и третьему по старшинству пирату по 1 куску золота. Остальные 98 оставляем себе. Они проголосуют за дележ, т.к. в противном случае не получат ничего.

6.  Продолжая индукцию, принимая во внимание, что 50 – четное число, получаем, что капитан должен предложить следующий вариант дележа: самый младший пират не получает ничего, второй по старшинству получает 1 кусок золота, третий снова не получает ничего, четвертый получает 1 кусок золота и т.д. Итого 24 куска золота. Остальные 76 оставить себе. Итого он получит 25 голосов в поддержку, включая свой. Никому из пиратов, проголосовавших за дележ не выгодно менять стратегию, т.к. при смене он не получит ничего.

Итак, капитан предлагает описанный выше план дележа золота.

Соответственно совершенным подыгровым равновесием будет следующий набор стратегий:

Никому из пиратов невыгодно менять стратегию, т.к. в противном случае он не получит ничего. Соответственно равновесия является равновесием по Нэшу в полной игре и принимая во внимание метода обратной индукции во всех подыграх этой игры.

7. Приведите пример стратегического взаимодействия из вашей реальной жизни (укажите для этой игры – игроков; возможные стратегии участников; характер игры (с обоснованием): статическая или динамическая, с полной информацией или нет, с совершенной информацией или нет). Какое решение в этой игре было достигнуто в реальном мире? Попытайтесь объяснить - почему именно это решение реализовалось

Если я должен ехать куда-то на поезде или лететь на самолете, то предпочитаю приезжать на вокзал или в аэропорт заблаговременно (оптимально – за час). У меня есть друзья, с которыми я часто пересекаюсь и «путешествуем» одними маршрутами. При этом они как раз предпочитают приезжать минута в минуту. Соответственно, когда мы выезжаем из одного места в пункт назначения, то всегда спорим, во сколько нужно выезжать. Я не хочу приезжать минута в минуту, потому что считаю это рискованным, т.к. в дороге может что-нибудь произойти, и мы можем не успеть на транспорт. Они уверены, что все будет нормально, и они успеют и лучше этот лишний час провести в уютной обстановке, чем на вокзале или в аэропорте. Если мы выезжаем из разных мест, то каждый следует своей стратегии – я приезжаю за час, они приезжают точно в срок. При этом я переживаю, что они могут не успеть, а ехать в поездку одному мне не хочется. Можно рассмотреть вариант, когда мы выезжаем из одного места.

Каждый такой вариант можно представить как статическую игру с полной информацией, т.к. каждый знает интересы другого. Игроки: я, мои друзья. У каждого есть две стратегии: «ехать рано» или «ехать поздно». При этом выигрыши игроков условно следующие:

5.  Мне выгоднее всего поехать вместе с ними за час до назначенного времени, т.к. в данном случае я не чувствую себя комфортно, при этом не переживаю за друзей, что они не успеют. Плюс ко всему мы весело и интересно проводим время в пути до аэропорта или вокзала. Ребята при этом проводят время на вокзале или аэропорту, чего не любят.

6.  Ребятам выгоднее всего отправиться точно в срок вместе со мной, т.к. это их наиболее предпочитаемый вариант – они поводят врем в комфортной обстановке, а в дороге их сопровождаю я. Я при этом же переживаю, что мы можем опоздать.

7.  Каждый едет в то время, в которое ему удобно. Это возможно, но выигрыш каждого тут будет уже меньше, т.к. в дороге скучно и неинтересно.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7