рефераты рефераты
Главная страница > Контрольная работа: Теория игр и статических решений  
Контрольная работа: Теория игр и статических решений
Главная страница
Новости библиотеки
Форма поиска
Авторизация




 
Статистика
рефераты
Последние новости

Контрольная работа: Теория игр и статических решений

b
A

6

2

B

4

3


6.  В первом варианте стратегия b второго игрока строго доминирует стратегию с. Во втором варианте стратегия B первого игрока строго доминирует стратегию А. Вычеркнув в обоих вариантах строго доминируемые стратегии, получим одинаковый вариант игры:

b
B

4

3

На основании этого можно сделать вывод, что в исходной игре должен реализоваться исход (B, b).


2. Заполните пропуски в таблице так, чтобы в этой игре в чистых стратегиях было бы 3 равновесия по Нэшу. Найдите все равновесия в смешанных стратегиях (любым способом).

a b
A

7

?

?

4

B

?

25

9

?

Решение:

Заменим знаки вопроса на неизвестные переменные следующим образом:

a b
A

7

y

x

4

B

t

25

9

z

Попытаемся заполнить пропуски в таблице так, чтобы равновесия по Нэшу достигались в вариантах игры (A, a), (B, a), (B, b), а при игре (A, b) равновесие по Нэшу не достигалось. Тогда должна выполняться система неравенств (объедим их парами для каждого варианта игры):

 Откуда получаем:  

Возьмем минимальные целые числа, удовлетворяющие системе неравенств. Получим игру:


a b
A

7

25

6

4

B

9

25

9

5

Действительно, в данной игре варианты (A, a), (B, a), (B, b) будут являться равновесиями по Нешу, т.к. здесь ни одному из игроков не выгодно изменить свою стратегию, а при игре (A, b) каждому из игроков выгодно изменить свою стратегию.

Найдем равновесие в смешанных стратегиях. Предположим, что первый игрок с вероятностью µ играет стратегию A, соответственно с вероятностью (1 - µ) – стратегию B. Второй игрок с вероятностью ν играет стратегию a, а с вероятностью (1 - ν) - стратегию b. Тогда функции выигрыша игроков будут выглядеть следующим образом:

;

Тогда функции отклика будут следующими:

 

Имеем 2 равновесия в смешанных стратегиях. Если второй игрок играет стратегию b, то первый игрок всегда будет играть стратегию B. Если первый игрок играет стратегию А, то второй игрок будет играть стратегию a.

Решением же в доминируемых стратегиях будет (B, a).


3. Двое бегут по лыжной трассе навстречу друг другу. У каждого лыжника 2 стратегии: «уступить» (У) и «не уступить» (Н). Если один из игроков уступает другому, то его потери - 9 секунд, второй – не теряет ничего; если же лыжники сталкиваются, то оба теряют 25 секунд.

d)  Составьте платежную матрицу этой игры. Найдите равновесия в чистых стратегиях.

e)  Нарисуйте линии откликов игроков и найдите смешанные равновесия в этой игре.

f)  Допустим теперь, что у игроков теперь 3 стратегии: «не уступить», «уступить» и «уступить пол-лыжни». Если оба уступили друг другу пол-лыжни, то потери каждого 4 секунд, если же один уступил пол-лыжни, а второй - нет, то лыжники столкнутся, и потери при столкновении у уступившего – 29 секунд, у неуступившего - 4 секунды. Найдите все равновесия по Нэшу (в чистых и в смешанных стратегиях).

Решение:

a)  Составим платежную матрицу этой игры:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

рефераты
Новости