Учебное пособие: Четырехполюсники, электрические фильтры

1

R

1’

Рис.1.4. Схема 4х-П, нагруженного активным сопротивлением R

Определим входное сопротивление 4х-П Рис.1.4., т.е. сопротивление со стороны зажимов 1-1’.

По закону Ома в комплексной форме входное сопротивление есть отношение входного напряжения к входному току (1.1):

Полученное выражение входного сопротивления показывает, что 4х-П может быть применен для преобразования сопротивления между источником и приемником.

Сопротивление холостого хода 4х-П представляет собой частный случай входного сопротивления (1.5) при

Сопротивление короткого замыкания получается из (1.5) при

1.4 Передаточная функция четырехполюсника

При проектировании радиотехнических устройств широко применяются электрические фильтры, которые удобно рассматривать как 4х-П, предназначенные для передачи сигналов от входа к выходу с определенной избирательностью.

Передаточной функцией по напряжению называется отношение выходного напряжения к входному:

Модуль этого отношения представляет собой амплитудно-частотную характеристику (АЧХ), а аргумент – фазо-частотную характеристику (ФЧХ). Эти характеристики являются основными при выборе электрических фильтров.

Амплитудно-частотная характеристика показывает, во сколько раз выходное напряжение меньше (или больше) входного, ФЧХ дает сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями.

Определим АЧХ и ФЧХ произвольного 4х-П с известными коэффициентами формы А, нагруженного активным сопротивлением R, Рис.1.4. С этой целью запишем первое уравнение системы (1.1) в следующем виде:

Поскольку коэффициенты формы А, в общем случае, являются комплексными числами, зависящими от частоты, постольку выражение в скобках (1.6) можно записать в алгебраической форме:

где а(ω) – действительная часть;

b(ω) – мнимая часть.

После этого связь входного и выходного напряжений (1.6) можно выразить следующим образом:

Для определения ФЧХ 4х-П за начало отсчета сдвига фаз между входным и выходным напряжениями примем вектор выходного напряжения , который направим по оси абсцисс, т.е. горизонтально.

При таком выборе начала отсчета положение вектора  на комплексной плоскости целиком определяется величинами а(ω)и b(ω) и их знаками:

Расчет ФЧХ по (1.8) дает сдвиг фаз, выраженный в радианах. Ключ для определения этого угла показан на Рис.1.5:

j

φ

0               +

-j

Рис.1.5. Ключ для определения сдвига фаз между входным и выходным напряжениями

На основании (1.7) комплексная передаточная функция по напряжению произвольного 4х-П с известными коэффициентами формы А и нагруженного активным сопротивлением R, принимает вид:

Модуль передаточной функции 4х-П, т.е. его АЧХ:

Таким образом, по формулам (1.8) и (1.10) можно рассчитать АЧХ и ФЧХ любого 4х-П при известных коэффициентах формы А и нагрузке R.

Пример 1.1. Задана электрическая схема Г-образного 4х-П (Рис.1.6) и его параметры R, L, C. Данный 4х-П подключен к источнику синусоидального напряжения. Необходимо найти формулы для расчета АЧХ и ФЧХ этого 4х-П.

L

1                       2

Z1

Z2    C       R

1’                      2’

Рис.1.6. Электрическая схема г-образного 4х-П, нагруженного активным сопротивлением R

Решение. Комплексные сопротивления плеч 4х-П:

Коэффициенты формы А (1.3):

Комплексная передаточная функция:

Модуль передаточной функции:

где

Фазо-частотная характеристика

Таким образом, при известных значениях R, L, C-элементов по формулам (1.11), (1.12) можно рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ Г-образного 4х-П, изображенного на Рис.1.6.

1.5 Каскадное соединение четырехполюсников

Рассмотрим так называемое каскадное соединение 4х-П (Рис.1.7), при котором входные зажимы каждого последующего 4х-П присоединяются к выходным зажимам предыдущего.

Рис.1.7. Каскадное соединение 4х-П

Эти два 4х-П, взятые вместе, можно рассматривать как один эквивалентный.

Определим параметры эквивалентного 4х-П через известные параметры первого и второго четырехполюсников.

Пусть заданы матрицы коэффициентов формы А двух каскадно соединенных 4х-П.

Из теории известно, что матрица коэффициентов формы А двух каскадно соединенных 4х-П равна произведению матриц отдельных 4х-П:

Это правило, распространяется на случай каскадного соединения любого числа 4х-П. При этом матрицы, подлежащие перемножению, записываются в порядке следования 4х-П, т.к. умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

1.6 Одноэлементые четырехполюсники

Простейшими 4х-П являются одноэлементные 4х-П, состоящие из последовательного (Рис.1.8а) и параллельного (Рис.1.8б) двухполюсника.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7