Книга: Прикладной системный анализ: сетевой анализ и календарное планирование проектов, метод прогнозного графа

Вычисление временных характеристик производят по следующей формуле:

где t(Si) — время свершения события S, графа;

tj — время свершения события Si согласно варианту эксперта j (j=l, 2, . . ., Ri);

Vj — вес эксперта j;

Ri — количество экспертов, оценивающих событие Si в графе (i= 1, 2, . . . , т+п).

Временные характеристики для каждого варианта (эксперта j) определяются так:

tj(Si) =max t(Sir)+tij ,

где tj(Si) — время реализации проблемы Si согласно варианту эксперта j;

t (Sir) — время свершения выдвинутых экспертом j условий SirÎj предпосылке;

tij — условное время, заданное экспертом;

Sir — событие, входящее в предпосылку i,j цели Si (r =l, 2,..., nj).

Аналогично (с незначительными изменениями) вычисляются и стоимостные характеристики.

Вероятностные характеристики рассчитывают следующим образом.

1. Вероятность свершения условий, выдвинутых Эj экспертом при наличии значения абсолютных вероятностей событий «заземленного уровня» (пустые ij — предпосылки):

Pэj (Sir) =P(Si1 Λ Si2 Λ … Λ Sinj)=pi1 · pi2 ·… ·pinj ,

где pi1 , pi2 ,… ,pinj — абсолютные вероятности свершения отдельных условий, выдвинутых экспертом j;

nij — количество условий, выдвинутых j-м экспертом; Pэj (Sir) — вероятность выполнения ij предпосылки.

2. Pэj (Sir) — вероятность свершения события Si анализируемого экспертом j при предпосылке ij;

pij — условная вероятность, выставленная Эj экспертом:

pэj (Si)= pэj (Sir) pij .

3. Для всех пар экспертов определяются условные вероятности:

где p(Эp/Эl) вычисляется по общим формулам теории вероятностей. Например:

Si=(Э1 (S2 , S3 , S4) , Э2 (S3 , S4, S5) ) ;

p (Э1 Λ Э2) =p ( (S2 Λ S3 Λ S4) Λ (S3 Λ S4 Λ S5) ) = p(S2Λ S3 Λ S4Λ S5) =

= p2 ·p3 ·p4 ·p5;

Если для какой-либо пары экспертов p(Эр / Эl) или р(Эl/Эр) ≥0,5, то производится усреднение вероятностей по формуле:

V рÚ l = min(Vр, Vl)

(p, l = 1, 2, … ,k).

После этого присваивается

p(Эp), если p(Эp/Эl)£ р(Эl/Эр) ;

p(Эр Ú Эl) =

p(Эl) в противном случае.

Заметим , что усреднение начинается с тех пар экспертов , которые имеют максимальное значение условных взаимных вероятностей (среди равнозначных порядок безразличен).

Значение p Э рVЭ l и Vp Vl рассматривается как данные нового эксперта (вероятность и вес эксперта). Оценка p(Эр Ú Эl) служит для переноса ранее полученных значений условных вероятностей на нового эксперта. Оба первичных эксперта из процедуры исключаются. Если после проведения всех усреднений остается один эксперт, то значение p Э рVЭ l , полученное после усреднения последней пары, присваивается p(Si). Если остается более одного эксперта, то оценка p(Si ) вычисляется по формуле

            r

p(Si ) = 1-П (1- pρ ),

           ρ=1

где r - число оставшихся экспертов;

pρ - вероятности оставшихся экспертов (ρ = 1, 2, . . . ,r), что в предыдущих обозначениях соответствует рЭру Эl (не надо путать ее с оценкой p(Эp v Эl);

p(Si )- вероятность свершения события Si , анализируемого экспертами j (j=1, 2, . . . , ki ).

На практике при проведении экспертизы по методу прогнозного графа оказалось, что экспертам довольно трудно осуществить оценку вероятности, поэтому было признано целесообразным перейти к одной оценке — по времени, сделав оценку производной от него.

Для каждой цели Si(i=l,2,...,т+п) находится экспериментальный закон распределения вероятности Pi(t) ее достижения не позже, чем на время t (считая от настоящего момента).

С этой целью должна быть решена система уравнений

где pi (t) — закон распределения вероятности достижения цели S к времени t;

pijr(t) — закон распределения вероятности времени достижения промежуточных целей Sir, входящих в ij предпосылки цели Si;

tij — относительная оценка времени свершения целей при условии выполнения ij предпосылок;

i = 1, 2,..., (m + n) (m + n — количество событий в графе);

j =1, 2, . . ., Ri (Ri — количество экспертов, участвующих в оценке цели);

r=1, 2, . .., пj (пj — число промежуточных целей, входящих в предпосылку ij);

δij = βij - γij — вес соответствующего предсказания;

     βij — оценка собственной компетентности эксперта;

     γij — степень уверенности в прогнозе.

Суммы в числителе и знаменателе распространены на всех экспертов, принимавших участие в оценке цели Si. Граф соподчиненности называется правильным, если из этой системы уравнений однозначным образом могут быть найдены все функции pi (t).

Так, в частности, будет, если все цели разбиваются на непересекающиеся классы k0, k1,..., ki таким образом, что предпосылки ij для цели Si из некоторого класса kr (r=0,1,...,l) могут состоять лишь из целей, принадлежащих kp<p<_r. Для класса k0 это означает, очевидно, отсутствие каких-либо предпосылок. Зависимость pijr(t - tij) определяют исходя из абсолютных оценок вероятности свершения, которые задаются для заземленных событий (класса k0). Данное уравнение для событий этого класса приобретает форму:

где Q(x) — функция, равная нулю при отрицательных значениях аргумента и равная единице при нулевом или положительном аргументе.

Член δijQ(t - tij) появляется в сумме всякий раз, когда эксперт j дает оценку времени tij достижения цели Si, не сопровождая ее никакими условиями (с пустой предпосылкой ij).

Оценки времени в прогнозах обычно даются лишь целыми числами (дней, месяцев или лет). При этом функцию распределения pi (t) удобно задавать векторами pi (1), pi (2),..., pi (τ), где τ — первое значение tij , для которого pi (t) достигает максимального значения (обычно это значение равно единице).

Для найденных экспериментальных распределений находятся обычные статистические характеристики: средние значения (или медианы), среднеквадратичные отклонения (или квартили). Так как распределение несимметрично, в ряде случаев необходимо рассматривать левые и правые среднеквадратичные отклонения.

Среднее значение для распределения pi(t) вычисляется по формуле

∞

Ei = ∑ τ (pi (τ) - pi (τ - 1)),

τ =1

Для нахождения медианы Mi и расстояний от медианы до квартилей pi ' и qi" предполагается, что между указанными значениями в целочисленных точках функции распределения меняются по линейному закону.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23