Дипломная работа: Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей
имеет
наименьшее значение?
Обозначим эту сумму через  :
 ,
и, подставляя
в нее
 ,
составляем
обычным способом дифференцирования следующие уравнения:
Отсюда
следует:
Так как  есть ортогональные
полиномы по построению, следовательно все слагаемые вида  будут равняться 0.
В результате преобразований получим выражения для коэффициентов  :
 ;
 ;
………………
 ;
………………
 .
Теперь можно представить функцию
в таком виде
 .
Легко убедиться, что для перехода от найденного выражения интерполируемой
функции к целой функции степени  ,
достаточно к левой части полученной функции приписать один новый член
 .
Для дальнейшего перехода к целой функции степени  , также удовлетворяющей
условию наименьшего значения суммы
 ,
достаточно
прибавить к найденному выражению функции степени  ,
такой новый член
 .
Таким образом, решение задачи параболического интерполирования
по способу наименьших квадратов приводится к нахождению ряда
Этот ряд, обладающий свойством давать посредством суммы своих  первых членов приближенное
представление интерполируемой функции в виде целой функции степени  , удовлетворяющей
требованию наименьших квадратов, называется интерполяционным рядом Чебышева.
Теперь для полного решения задачи остается еще узнать, что представляют
собой функции  , определив через
данные величины  и  коэффициенты при  в выражении этих функций.
Далее,
с помощью разложения дроби
по нисходящим
степеням  получим, что дробь
 ,
где
 ,
дает
приближенное представление функции [7]
с точностью
до членов степени
включительно.
Здесь  есть весовая функция,
найденная ранее по методу Пирсона. Но эта дробь, у которой степень числителя на
единицу меньше степени знаменателя, при разложении в непрерывную дробь всегда
будет в своих неполных частных содержать переменную  в
первой степени. Следовательно, знаменатели ее подходящих дробей  есть функции степеней  ; поэтому можно положить
 .
Что касается
 , то его можно приравнять  .
Разлагая
в
непрерывную дробь вида
 ,
где  и  - некоторые постоянные,
используем найденные выше свойства функции  для
определения этих постоянных через данные значения  .
Выражения для
 будет иметь вид:
 .
Выражения для
коэффициентов  будут
следующими:
 .
Вводя для
сокращения обозначение
через  , запишем выражение для  в таком виде:
 .
Для  выражение будет иметь вид
 .
Что касается
величин  и  , то они равны
соответственно
 и  .
Теперь перейдем к определению коэффициентов  в
выражении
 .
Для  получим выражение
 .
Это выражение весьма упростится, если  мы
будем считать отклонениями данных значений аргумента от его средней
арифметической так, что  . Тогда  , а выражение для  будет иметь вид
 .
Также
упростятся выражения для
 и  .
Функция  станет равной  , функции  определяются путем
последовательных подстановок выражений  в
формулы
 .
При помощи этих формул можно вычислить какой угодно член ряда
Чебышева
 .
Оценка результатов интерполирования производится при помощи
среднего квадратического отклонения данных значений интерполируемой функции от
вычисленных по найденному уравнению параболы.
Обозначим сумму квадратов отклонений через  .
Тогда можно написать
 .
 будет равняться
 ,
а  выражать рекуррентно через  по формуле
 .
Итак,
 ,  ,
 ,
 ,  ,
 ,  ,
 ,  ,  ,  ,  .
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 |
