Дипломная работа: Ортогональные полиномы и кривые распределения вероятностей

где  и значения  и  должны удовлетворять условиям

.

Тип I получается, если  заключается в интервале . Тогда

 и

или, как обычно пишут

.

Так как   выражаются определенным образом через моменты , то, очевидно, и  также выражаются через те же моменты. Для этого введем число

.

Тогда простое преобразование дает следующие формулы:

.

Эти формулы используются вообще при вычислении параметров и других кривых Пирсона.

Далее, пользуясь этими же формулами,

,

следовательно, 

.

Затем

,

или, после простых подсчетов, 

,

где

.

Таким образом,  и  представляют корни уравнения

,

Когда найдены  и ,  и  находятся по формулам

,

в которых

, .

Здесь использовано равенство

,

 которое получается, так мы имеем

,

и

,

 следовательно,

,

откуда

(так как ), нужно брать .

Таким образам,  и  есть корни уравнения

 и  и  по формулам

,

в которых

,

 где  находится из равенства

.

Остается найти . Оно находится по равенству

.

 При помощи подстановки

мы находим:

.

Следовательно,

.

Тип IV.

Второй главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям

0< æ<1, когда уравнение (1) имеет комплексные корни.

Пусть эти корни равны

,

где

.

Тогда уравнение (1) будет

,

откуда

,

 и

,

или

,(3)

 причем

.

Параметры кривой (3),  выражаются следующим образом через моменты  и константы :

 (здесь , и ),

,

где  - функция Пирсона, определяемая равенством

.

Интеграл в правой части можно привести к другому виду:

подстановка

приводит его к виду

.

 Обычно, полагая

,

 пишут  в виде

,

где

.

Тип VI.

Третий главный тип кривых Пирсона, соответствующий значениям критерия  æ>1 . В этом случае уравнение (2) имеет вещественные корни одного знака. Не приводя вывода уравнения кривой типа VI, аналогичного выводу уравнения кривой типа I [5], прямо приведем уравнение, отнесенное к средней выравниваемого распределения, как началу координат:

(в нем ). Его параметры вычисляются по формулам:

,

 причем берется , если  и , если ;  и  дают выражения:

,

причем должно быть ;

,

и

.

Уравнение кривой типа VI пишут также в виде:

беря за начало координат точку

.

Параметры  вычисляются как выше, а  имеет теперь такое выражение:

.

Кривая простирается от  до , если , и от  до , если .

§ 3. Переходные типы кривых Пирсона.

Переходные типы кривых Пирсона получаются при специальных значениях критерия æ и при некоторых условиях, налагаемых на  и .

Тип II.

Получается при æ=0, и имеет уравнение

,

отнесенное к моде, которая теперь равна средней (кривая симметрична относительно начала). Ее параметры вычисляются по формулам

Кривая простирается от -а до а. На концах распределения , если  и , если . Эта кривая имеет так называемую U-образную форму с антимодой вместо моды.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9