Курсовая работа: Моделирование SH-волны
Неоднородные плоские волны играют главенствующую роль в
образовании преломленной (головной) волны, которую рассмотрим несколько позже в
отдельном разделе. Здесь подчеркнем одно - все особенности неоднородной волны
выявлены в результате анализа лишь волнового аргумента проходящей волны при
закритическом падении плоской волны на границу раздела. Вид самой волновой
функции  этим анализом не затронут.
Поэтому вернемся к исследованию поведения спектральных коэффициентов
рассеивания и вторичных волн при закритическом падении первичной волны.
Итак, установлено, что при
  где
 .
Коэффициенты рассеивания А и В в этом случае описываются
выражениями:
Знаком тождества подчеркнута комплексная зависимость
коэффициентов рассеивания от частоты, оправдывающая введенное ранее определение
А и В как спектральных коэффициентов рассеивания.
В числителе и знаменателе дроби, определяющей А -
комплексно-сопряженные выражения:  ,
имеющие одинаковый модуль (так как  ) и
противоположные по знаку аргументы. Поэтому модуль спектрального коэффициента
выражения равен 1:
и не зависит ни от частоты, ни от угла падения. Фазово-частотный
коэффициент отражения как аргумент дроби с комплексно-сопряженными числителем и
знаменателем, равен:
 .
Действительная realA и мнимая imageA части спектрального коэффициента отражения (СКО) равны:
 ,
где
 .
Используя формулы косинуса и синуса двойного угла ( ), получим выражения для
действительной и мнимой частей СКО в виде:
 ;
 .
Действительная часть СКО не зависит от частоты, а
зависимость мнимой части от нее задается множителем в виде знаковой функции
частоты. Обе части СКО являются функциями угла падения. Спектральная характеристика
отражения обладает всеми свойствами устойчивой линейной системы - четными
амплитудно-частотной характеристикой (модулем СКО) и действительной части СКО,
и нечетными фазово-частотной характеристикой (аргументом СКО) и мнимой частью
СКО. При этом, четность обеспечивается отсутствием зависимости  и realA
от частоты, а нечетность  и imageA - множителем в виде знаковой
функции sgn (ω). Таким образом, комплексный
спектральный коэффициент отражения может быть записан в виде:
 .
Спектр отраженной волны разделяется на два слагаемых:
 .
В первом слагаемом присутствует спектр первичной волны с
амплитудным множителем (весом) ReA (α),
независимым от частоты и меняющимся с увеличением угла падения.
Во втором слагаемом - произведение двух частотно-зависимых
функций - знаковой  и комплексного
спектра первичной волны u (jf) - с амплитудным множителем ImA
(α), также изменяющимся с увеличением угла падения.
Так как преобразование Фурье - линейная операция, сам
отраженный сигнал также является взвешенной суммой Фурье-трансформант слагаемых
своего спектра:
 .
Здесь  - результат
обратного Фурье-преобразования знаковой функции частоты sgn
(f), u (t)
 u (jf), а произведение
спектров заменено сверткой Фурье-трансформант сомножителей в соответствии со
спектральной теоремой свертывания функций.
В теории спектров рассматривалась знаковая функция времени sgn (t) и ее спектр:
 .
Аналогично определяется обратное Фурье-преобразование
знаковой функции частоты:
 .
Здесь появился знак минус как следствие противоположных
знаков ядер прямого ( ) и обратного ( ) преобразований Фурье.
Тогда отраженный сигнал может быть описан выражением:
 .
Сокращая мнимую единицу и раскрывая символьную запись
свертки, получим описание отраженного сигнала при углах падения, превышающих
критический угол:
 .
В скобках записано обратное Гильберт-преобразование
функции u (t), описывающей
первичную волну:
 .
Таким образом, отраженный сигнал за критическим углом
падения представляется взвешенной суммой падающего сигнала u
(t) и его Гильберт-трансформанты  :
 .
Веса слагаемых - ReA (α) и ImA
(α) - изменяются при увеличении угла падения. Соответственно, изменяется
по форме и суммарный отраженный сигнал  .
Проведем анализ зависимости от угла падения α весовых
множителей ReA (α) и ImA (α) и структуры суммарной отраженной волны при
изменении α от критического угла  до
теоретически возможного предела 90°. Как отмечалось, при α =  А ( ) = 1 = ReA
( ), ImA
( ) = 0. Отраженная волна
имеет те ж форму и амплитуду, что и падающая волна:  =
 .
Как только угол падения превысит критический угол, ReA (α) стремительно уменьшается, а мнимая часть ImA (α) столь же быстро возрастает. Доля первичного
сигнала в суммарной отраженной волне быстро уменьшается, и так же быстро растет
доля Гильберт-трансформанты падающей волны. При некотором угле падения  действительная часть
спадает до 0, а мнимая - возрастает до 1:
при α =  ReA ( ) = 0; ImA ( ) = 1.
Отраженный сигнал представлен только Гильберт-трансформантой
первичной волны:  . Угол  находится из условия ReA ( ) = 0:
 .
Синус его равен:
и не намного превышает  ,
то есть  не намного больше  .
Дальнейшее увеличение угла падения (α >  ) приводит к перемене знака
действительной части и к соответствующему инвертированию знака смещения
первичной волны в суммарном отраженном сигнале.
В пределе, при  : ReA ; ImA  и
 .
С увеличением угла падения при  доля
падающей волны с инвертированным знаком смещения в суммарной волне растет, а
доля Гильберт-трансформанты уменьшается в пределе, при α = 90°, до 0.
При этом отраженный сигнал повторяет по форме и амплитуде
колебаний падающую волну с инвертированным знаком смещений. Напомним, что такой
же предел был выявлен и в случае  (см. раздел
8.3), что вполне естественно.
Анализ закритических изменений спектрального коэффициента
прохождения В и вызванных ими трансформаций неоднородных плоских волн  фактически не нужен, так
как имеется связь между коэффициентами рассеивания SH-волны:
В = 1 + А, справедливая при любых углах падения.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
