Курсовая работа: Моделирование SH-волны
Как видно из рисунка, при малых углах падения изменения
спектральных коэффициентов А и В незначительны. Соответственно, малы и
изменения амплитуды вторичных волн. Это является благоприятным фактором для
сейсмической разведки.
Рис.9
С приближением угла падения к  спад
кривой ускоряется, отраженная волна затухает до нуля при  , а амплитуда проходящей
волны стремится к амплитуде волны падающей.
При углах, больших  ,
происходит стремительное падение кривой к пределам: А (α → 90°) →
-1; B (α → 90°) → 0. Отраженная волна,
поменяв знак смещения на обратный при  ,
стремится к падающей волне с инвертированным знаком смещения. Проходящая волна
столь же быстро затухает до нуля.
Нижняя среда - более плотная и имеет большую скорость
распространения волны, чем верхняя:.
 и  .
В соответствии с законом Снеллиуса, угол прохождения всегда
больше угла падения и равному ему угла отражения:  .
При изменении угле падения  от нуля
до теоретически возможного предела 90° угол прохождения растет быстрее и
становится равным 90° при  . В этом
случае
 и  ,
где  - критический
угол падения. При таком падении проходящая волна не уходит в глубь нижней
среды, а скользит вдоль границы со скоростью  .Эта
скользящая волна порождает в верхней низкоскоростной среде вторичную волну,
называемую в сейсморазведке головной или преломленной. На регистрации таких
волн основан второй метод сейсморазведки - метод преломленных волн (МПВ), - первым
и основным, но вторым по времени возникновения, является метод отраженных волн
(МОВ).
При нормальном падении все косинусы равны единице,
коэффициент отражения отрицателен, а коэффициент прохождения меньше единицы. Следовательно,
в этом случае отраженная волна противоположна падающей по знаку смещений (отражение
с потерей полуволны), а проходящая волна имеет меньшую амплитуду, чем волна
падающая:
при α = 0 и A < 0 и  B
< 1 и  = B · u
(τ) < u (τ).
При критическом угле падения  угол
прохождения  и А = 1, В = 1 + А = 2. Отраженная
волна имеет ту же амплитуду, что и волна падающая, а проходящая волна по
амплитуде вдвое превосходит ее:
при  А = 1 и  В = 2 и  .
Видно, что и при  коэффициент
отражения меняет свой знак: при нормальном падении А < 0, а при  А = 1 > 0, и существует
угол  , при котором А = 0 и  , В = 1 и  , - отраженной волны нет,
есть только проходящая вторичная волна с амплитудой, равной амплитуде падающей
волны. Синус этого угла определен ранее, но, так как  , формулу для  удобнее записать, умножив
числитель и знаменатель подкоренного выражения на - 1:
 .
При дальнейшем увеличении угла падения, когда  , коэффициент отражения А
стремительно возрастает от 0 при  до 1,
при одновременно и также
быстро В растет от 1 до 2. Однако, более существенные изменения коэффициентов А
и В и вторичных волн - отраженной и проходящей - происходят, когда угол падения
становится больше критического. Если  (напомним,
 ), в соответствии с законом
Снеллиуса:
 и 
синус угле прохождения при закритическом падении становится
больше единицы (?!). Это не может быть в области действительных
тригонометрических функций. Определим косинус угле прохождения по обычной
формуле:
 , так как  .
Синусу, большему 1, соответствует чисто мнимый косинус.
Встретившись с этой неожиданной трансформацией косинуса, мы,
из осторожности, записали оба возможных знака (±) корня. Установим, какой из
них имеет физический смысл. Для этого вспомним описание проходящей волны (в
волновой аргумент которой и входит  ) и ее
спектра:
Подставим в последнее определение
 :
Наличие мнимой единицы в определении косинуса выводит
зависимость от z из функции запаздывания и превращает
ее в амплитудный множитель  . Если
определить  , то с ростом z (то есть, при удалении от границы и от предполагаемого
источника колебаний) амплитуда гармоники частоты ω неограниченно возрастает:
при z → ∞  .
Физически это абсолютно невозможно, поэтому из двух знаков
мнимого косинуса следует выбрать минус:  .
Тогда амплитуда вторичной волны, определяемая множителем  , стремится к нулю при
удалении от границы (z → ∞).
Однако, спектр импульсного сигнала определен на всем
бесконечном интервале частот: - ∞ ≤ ω ≤ ∞ и в
волновом импульсе присутствуют как гармоники с положительными частотами, так и
гармоники с ω < 0. Знак минус в определении  “правильно
действует" только для положительных частот. Для отрицательных частот знак
минус гаснет и амплитуда гармоники частоты ω < 0 неограниченно
возрастает по мере удаления от границы z → ∞. Это - снова нереально.
Чтобы обеспечить затухание всего спектра волны  как для положительных, так
и для отрицательных частот, определим:
 ,
где sgn (ω) - знаковая функция
частоты:
 .
В таком определении амплитудный множитель  обеспечивает затухание
гармонических составляющих со всеми частотами: если ω > 0, sgn (ω) = + 1 и  -
функция, убывающая с ростом z, если же ω < 0, sgn (ω) = - 1 и  -
так же убывающая по мере удаления от границы функция.
Обратим внимание на то, что с ростом абсолютного значения
частоты ω затухание ускоряется - чем выше частота гармоники, тем быстрее
она затухает с ростом z.
В функции запаздывания спектра проходящей волны  осталась лишь
пространственная переменная x:  . Эта функция соответствует
скольжению плоской волны  вдоль
границы со скоростью  , меньшей
истинной скорости  волны в нижней
среде, так как  . Эта скользящая
с “неправильной" скоростью волна имеет амплитуду, экспоненциально
уменьшающуюся с глубиной, вдоль фронта волны. Эти две особенности закритической
проходящей волны дают основание для ее специального наименования - она
называется неоднородной плоской волной, в соответствии с
характером распределения ее амплитуды по фронту.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
