Контрольная работа: Определение реакций опор составной конструкции

Применение теоремы об изменении кинетической энергии к изучению движения механической системы.

Вариант № 1.

Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя; начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая трение скольжения тела 1, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1 в тот момент, когда пройденный им путь станет равным s.

В задании приняты следующие обозначения: m1, m2, m3, m4 – массы тел 1, 2, 3, 4; b - угол наклона плоскости к горизонту; f – коэффициент трения скольжения.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям.

Рис. 1

Таблица 1.

Решение.

Применим теорему об изменении кинетической энергии системы:

                                  (1)

где T0 и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; - сумма работ внешних сил, приложенных к системе; - сумма работ внутренних сил системы.

Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями,

Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0=0.

Следовательно, уравнение (1) принимает вид:

                                         (2)

Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1, 2, 3 и 4:

Т = Т1 + Т2 + Т3 + Т4.                                     (3)

                                          2

                                                                               1

                   w2

           VA

                 V3

     3                                                                          b               V1

                   A   C3   CV

                            w3

                V4

       4

Рис. 2.

Д-10

Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно,

                                          (4)

Кинетическая энергия барабана 2, совершающего вращательное движение,

,                                       (5)

где J2x – момент инерции барабана 2 относительно центральной продольной оси:

,                                       (6)

w2 – угловая скорость барабана 2:

.                                           (7)

После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2 принимает вид:

.                                        (8)

Кинетическая энергия барабана 3, совершающего плоское движение:

,                                              (9)

где VC3 – скорость центра тяжести С3 барабана 3, J3x – момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси:

,                                       (10)

w3 – угловая скорость барабана 3.

Так как двигается по нити без скольжения, то мгновенный центр скоростей находится в точке СV. Поэтому

,                                          (11)

.                                    (12)

Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим:

.                                               (13)

Кинетическая энергия груза 4, движущегося поступательно,

,                                        (14)

где V4 = VC3 = V1/2:

.                                        (15)

Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15):

Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем:

или

.                                               (16)

Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3).

                                          2

                                                                               1

                                                                                            N1

                                                             FTP

     3                                                                            b

                             C3

                         P3                                                                                                              P1

       4

                   P4

Рис. 2.

Работа силы тяжести :

                                   (17)

Работа силы трения скольжения :

Так как

то

                                      (18)

Работа силы тяжести , препятствующей движению тела 1:

                                    (19)

Работа силы тяжести , препятствующей движению тела 1:

                                   (20)

Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (20):

.

Подставляя заданные значения масс, получаем:

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6