Реферат: Елементи дисперсійного аналізу і теорії кореляції

де  і  – параметри, що підлягають визначенню. Найчастіше для цього вживають метод найменших квадратів.

Функцію  називають "найкращим наближенням"  у сенсі методу найменших квадратів, якщо математичне сподівання

                                           (11)

приймає найменше можливе значення. При цьому функцію  називають середньоквадратичною регресією  на .

У теорії ймовірностей доведено, що лінійна середня квадратична регресія  на  має вигляд

де

, ,

, ,

 – коефіцієнт кореляції величин  і ,

 – кореляційний момент цих величин.

Можна показати, що кореляційний момент  характеризує зв'язок між величинами  і , зокрема, якщо вони незалежні, то

Коефіцієнт

називають коефіцієнтом регресії  на , а пряму

                                                                       (12)

називають прямою середньоквадратичної регресії  на .

При підстановці знайдених значень  і  у формулу (11) отримуємо мінімальне значення функції , що дорівнює

Цю величину називають залишковою дисперсією випадкової величини  щодо випадкової величини . Вона характеризує похибку, що виникає під час заміни  лінійною функцією (10). При  залишкова дисперсія дорівнює нулю, тобто в цих випадках лінійна функція (10) точно подає випадкову величину . Це означає, що при цьому  та  пов'язані лінійною функціональною залежністю.

Аналогічний вигляд має і пряма середньоквадратичної регресії  на

                                                                       (13)

Очевидно, що обидві прямі регресії (12) і (13) проходять через спільну точку , яка називається центром спільного розподілу величин  і . Якщо коефіцієнт кореляції  дорівнює нулю, то пряма регресії  на  (12) є паралельною осі , а пряма регресії  на  (13) – паралельна осі , тобто вони є взаємно ортогональні. Крім того, при  обидві прямі регресії співпадають.

Таким чином, значення кута між прямими регресії (12) і (13) характеризує тісноту зв’язку між випадковими величинами: чим менше кут, тим більш тісною є зв’язок.

2.3 Умовне середнє і вибіркова регресія

У математичній статистиці вводять вибіркові оцінки умовного математичного сподівання і регресії. У якості оцінки умовного математичного сподівання  беруть умовне середнє , яке знаходять за вибірковими даними спостережень.

Умовним середнім  називається середнє арифметичне значень випадкової величини , що спостерігаються за умови, яка випадкова величина  при цьому має значення . Аналогічно визначається і умовне середнє , однак надалі для стислості викладення обмежимося в основному розглядом тільки  і пов'язаними з ним питаннями.

Також як і умовне математичне сподівання , його вибіркова оцінка є функцією від змінної , що позначимо через  і будемо називати вибірковою регресією  на , а її графік – вибірковою лінією регресії  на . Крім того, за аналогією з рівняннями (8) і (9) вводяться вибіркові рівняння регресії  на  і  на , відповідно

                                                                                       (14)

                                                                                       (15)

2.4 Визначення параметрів вибіркового рівняння прямої лінії середньоквадратичної регресії за незгрупованих даних

Нехай під час дослідження кількісних ознак ( , ) у результаті  незалежних випробувань отримано  пар чисел: , ,...,. Будемо шукати функцію  в лінійному наближенні (все аналогічно проводиться і для функції  у випадку регресії  на ). Крім того, у припущенні незгрупованих даних спостережень (різні значення  ознаки  і відповідні їм значення  ознаки  спостерігалися по одному разу)  і  можна замінити на  і . Під час цього рівняння прямої лінії регресії  на  можна подати у вигляді

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6