Курсовая работа: Разработка системы регулирования температуры смазочного масла турбины

4.2 Структурированные модели

Реальные объекты управления представляют собой совокупность отдельных элементов и блоков соединенных между собой посредством связей. Поэтому в практике гораздо удобнее бывает представлять математическую модель всей системы, как совокупность относительно простых математических моделей отдельных элементов и блоков объекта, т.е. структурированную модель. Такая форма математического описания в отличии от (4.6) отражает не только физические, но и технические принципы построения системы управления и позволяет исследовать процессы происходящие не только в системе в целом, но и процессы в отдельных ее элементах.

Структурированные модели, учитывающие техническую организацию систем управления, создаются на основе следующих допущений:

1. Все элементы системы являются простейшими звеньями, т.е. имеют один вход и один выход. Если звено характеризуется несколькими обобщенными координатами, то в качестве выходной величины выбирается та координата, которая является выходной или регулируемой величиной звена.

2. Все звенья, из которых состоит система, является детектирующими. В детектирующем звене выходная величина зависит только от входной. Если выходная величина звена оказывает влияние на входную, то звено называется недетектирующим.

Допущения о том, что в состав системы управления должны входить только детектирующие звенья не сужает область применения структурированных моделей, так как недетектирующее звено может рассматривать как совокупность детектирующих звеньев охватываемых обратной связью.

Таким образом, структурированная модель системы управления разбивается на ряд взаимосвязанных математических моделей отдельных звеньев. Тогда, последовательно, исключая из рассмотрения все внутренние переменные, являющиеся входными или выходными сигналами внутренних звеньев, можно найти дифференциальное уравнение описывающее взаимосвязь входной и выходной величины системы в виде.

,              (4.8)

где - постоянные коэффициенты;

n - порядок системы.

Для реальных физически реализуемых систем управления m < n .

Подвергая (4.8) преобразованию Лапласа при нулевых начальных условиях получим алгебраическое уравнение, связывающее изображения по Лапласу от входной X(p) и выходной Y(p) величины объекта

, (4.9)

где p – оператор Лапласа

Последнее уравнение можно представить в виде:

. (4.10)

Это отношение называется передаточной функцией объекта и обозначается символом W(p).

Передаточной функцией системы называется отношение выходной величины к входной, преобразованных по Лапласу при нулевых начальных условиях и возмущениях. Зная передаточную функцию системы или звена можно легко получить дифференциальное уравнение в форме (4.8), справедливо также и обратное утверждение.

Введение векторных переменных при рассмотрении многомерных объектов позволяет для линейных систем использовать привычный аппарат передаточных функций и структурных схем, однако понятие передаточной функции значительно расширяется.

Пусть имеется многомерный объект управления со структурной схемой рис. 4.1 б. По аналогии с одномерными системами (4.9) можно записать:

, (4.11)

где Q(p)-квадратная матрица операторных коэффициентов размера

,

R(p)- прямоугольная матрица операторных коэффициентов размера

,

S(p)- прямоугольная матрица операторных коэффициентов размера

.

Для получения системы дифференциальных уравнений необходимо перемножить прямоугольную или квадратную матрицы на матрицы - столбцы соответствующих переменных объекта. Взаимосвязь уравнений состояния (4.6) с уравнениями системы в виде (4.11) определяется из следующих соотношений. Из второго уравнения (4.6) выразим переменную  через

       (4.12)

и подставим это выражение в первое уравнение (4.6)

. (4.13)

Преобразовывая по Лапласу (4.13) и группируя подобные члены, получим выражение аналогичное (4.11).

, (4.14)

где  - единичная матрица.

Полагая , а  найдем взаимосвязь параметров структурированной модели и модели в пространстве состояний

, , .         (4.15)

По аналогии с одномерными системами, используя основные правила теории матриц, можно ввести понятие матрицы передаточной функции.

Если умножить (4.14) на обратную матрицу , то получим:

 (4.16)

Отсюда можно получить выражение для матриц передаточных функций системы по управлению

 (4.17)

и возмущению

 (4.18)

Как для одномерных, так и для многомерных систем одной и той же матрице передаточной функции может соответствовать несколько вариантов структурных схем и уравнений состояния. Т.е. по уравнениям состояния матрица передаточной функции может быть получена однозначно, обратное утверждение будет неверным. Это связано с тем, что при получении выражения передаточной функции исключаются из рассмотрения все внутренние переменные структурированной модели, которые нельзя уже восстановить по выражению передаточной функции.

4.3 Дискретные модели

При анализе стохастических систем, встречающихся в самых различных областях науки и техники, исходными данными для анализа являются реализации случайного процесса генерируемого этой системой. Полученные в виде графиков, или осциллограмм, реализации случайного процесса обрабатываются и представляются в виде временного ряда. Временной ряд содержит ординаты реализации случайного процесса снятые в дискретные и равноотстоящие моменты времени. Следовательно, о свойствах исходной непрерывной системы судят по результатам цифровой обработки сигналов (временных рядов) формируемых системой. В связи с этим широкое распространение получили цифровые параметрические стохастические модели авторегрессии и скользящего среднего (АРСС-модели). Эти модели достаточно просты и включают обычно небольшое число параметров, которые необходимо оценивать по наблюдениям. АРСС-модели могут быть использованы как для изучения временных рядов, так и при определении статистических характеристик этих рядов. Широко используются такие модели в управлении, экономике, медицине, геофизике, при обработке звуковых сигналов [3, 6, 9, 11, 33, 56, 101].

АРСС процессом порядка (p, q) называется ряд

,             (4.19)

где v(k) – значения временного ряда в k-й момент времени;

e(k) – последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией (белый шум);

{ci, i = 1, p} –параметры авторегрессии;

{dj, j = 1, q} – параметры скользящего среднего.

Частными случаями АРСС (p, q) процессов является процесс АР(p) – авторегрессии порядка p:

,                  (4.20)

и процесс СС(q) – скользящего среднего порядка q:

.                (4.21)

Уравнения (4.19) и (4.20) описывают рекурсивные фильтры, а уравнение (4.21) – трансверсальный фильтр [38]. Таким образом, процессы АРСС (p, q), АР(p) и СС(q) можно рассматривать как отклики соответствующих линейных фильтров на входной бело-шумный процесс {e(tk)}. Следовательно, условиями стационарности этих процессов являются условия устойчивости соответствующих фильтров: рекурсивный фильтр устойчив, если все корни характеристического уравнения

находятся внутри окружности единичного радиуса [30]. Трансверсальный фильтр порядка q устойчив без ограничения на параметры.

Если в в качестве стохастической системы рассматривается одномерный объект управления, то АРРС- модель объекта примет вид

,                            (4.22)

где y(k), u(k) выходная и входная координаты объекта.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9